Родился 16 (28) августа 1812 года в Костроме в семье профессора российской словесности и красноречия Костромской духовной семинарии, ставшего потом священником, кафедральным протоиереем в Успенском соборе Костромы. Мать также была из священнической семьи — дочь костромского протопопа.
Окончил Костромское духовное училище (1824), а в 1828 году был переведён (в 16 лет, минуя богословский класс) из Костромской духовной семинарии в Московскую Духовную Академию (МДА), которую окончил по первому разряду в 1832 году.
С сентября 1832 года был определён профессором по классу церковной и гражданской истории в Московскую духовную семинарию, а с августа 1833 года — на должность бакалавра МДА. Одновременно, с 1834 года он состоял в ней библиотекарем в московской семинарии и помощником библиотекаря в академии (библиотекарь — с 1842 по 1853 г.). С января 1837 года — экстраординарный профессор МДА на кафедре церковной истории; с сентября 1839 года — ординарный профессор.
В 1860 году митрополитом Филаретом (Дроздовым), без сношения со Святейшим синодом, рукоположён целибатом в священный сан на основании примеров древней Церкви — в московский кафедральный Архангельский собор. Так в русской Церкви с Горского началась практика целибатного священства. В тот же год получил звание протоиерея.
В октябре 1862 года был назначен ректором Московской академии и стал читать вместо церковной истории догматическое богословие; в феврале 1864 года получил степень доктора богословия. В 1867 году был признан Советом Санкт-Петербургского университета доктором русской истории.
Современников удивляла колоссальная образованность Горского, осведомлённость в разных областях знаний, но особенно в богословии; его называли «исполином знания» и «великаном русской науки». Время не благоприятствовало тому, чтобы Горский высказался весь в своей системе научного миросозерцания, во всей широте своих познаний. Митрополит Филарет, зорко следя за академической жизнью и мыслью, будучи богословом-догматистом, не сочувствовал церковно-исторической постановке богословского образования, представителем которого был Горский. Горский, поэтому, остерегался писать и оставил сравнительно мало печатных трудов; притом большая часть их написана по поручениям. Так, по поручению митрополита Филарета, Горский, в 1849 году, предпринял, вместе с К. И. Невоструевым, известнейший труд свой: «Описание славянских рукописей Московской синодальной библиотеки». Горскому принадлежала роль руководителя, цензора и редактора; некоторые важные отделы были написаны самим Горским. К 1862 году было подготовлено пять томов; шестой, совершенно готовый, не издан, значительная часть тетрадей утеряна. За этот труд авторы стали первыми лауреатами Ломоносовской премии (1867). По мнению рецензентов выпуски «Описания» составили «сокровищницу критически очищенных фактов для истории языка как русского, так и южно-славянского».
Труды А. В. Горского отличаются полнотой материала, объективностью построений, крайней осторожностью в выводах, сжатостью, точностью и простотой стиля. Лекции Горского отличались новизной материала и строгостью метода. Его курс «История евангельская и церкви апостольской» была издана дважды. Горский и Филарет Гумилевский произвели переворот в учебной постановке духовных академий и на самое видное место поставили историю. Проводником нового научного направления был журнал «Прибавления к Творениям Св. отцов», основанный в 1843 году; Горский был одним из редакторов журнала и самым деятельным его сотрудником. Проводником нового направления в академическую среду был один Горский. К Горскому обращались за указаниями и советами такие учёные, как Погодин, Срезневский, Сухомлинов, Бодянский; другие работали при помощи Горского (А. Н. Муравьев, Савва, впоследствии тверской, гр. М. В. Толстой, Филарет Гумилевский).
Умер 11 (23) октября 1875 года от болезни сердца. Похоронен в Троице-Сергиевой лавре на академическом кладбище.
