Р. Курант, Г. Роббинс «Что такое математика?» – пособие для юных гениев

Книга, написанная крупным математиком Рихардом Курантом в соавторстве с Гербертом Роббинсом, переиздавалась в нашей стране и обрела в России популярность. Её загадочный подзаголовок гласит: «Элементарный очерк идей и методов».

Издание переведено с английского и вышло в свет под редакцией А. Н. Колмогорова в издательстве МЦНМО (Москва, 2015 г.)

Издатели от лица авторов сообщают, что «книга призвана сократить разрыв между математикой, которая преподается в школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки».

Если на этот счет волнуются известные ученые, значит, разрыв действительно есть. Получается, школьники недополучают самые актуальные знания и на несколько шагов отстают от новых математических реалий.

Продолжаем читать аннотацию к креативному учебнику: «Начиная с элементарных понятий, читатель движется к важным областям современной науки.

Книга написана доступным языком и является классикой популярного жанра в математике.

Книга предназначена для школьников, студентов, преподавателей, а также для всех интересующихся развитием математики и ее структурой.

Предыдущее издание вышло в 2013 г.»

Вы можете скачать книгу на нашем сайте. Чтобы составить себе впечатление о ее содержании, ознакомьтесь с оглавлением.

Что такое математика. Куррант, Роббинс

Р. Курант, Г. Роббинс «Что такое математика?» Оглавление

Предисловие к изданию на русском языке 10

К русскому читателю 14

Предисловие 16

Как пользоваться книгой 19

Ч т о т а к о е м а т е м а т и к а? 20

Гл а в а I. Натуральные числа 25

Введение 25

• 1. Операции над целыми числами 26

1. Законы арифметики. 2. Представление целых чисел с помощью письменных знаков (нумерация). 3. Арифметические действия в недесятичных системах счисления.

• 2. Бесконечность системы натуральных чисел. Математическая индукция 34

1. Принцип математической индукции. 2. Арифметическая прогрессия. 3. Геометрическая прогрессия. 4. Сумма n первых квадратов.

*5. Одно важное неравенство. *6. Биномиальная теорема. 7. Дальнейшие замечания по поводу метода математической индукции.

Д о п о л н е н и е к г л а в е I. Теория чисел 45

Введение 45

• 1. Простые числа 45

1. Основные факты. 2. Распределение простых чисел. а. Формулы, дающие простые числа. б. Простые числа в арифметических прогрессиях. в. Теорема о распределении простых чисел. г. Две еще не решенные задачи о простых числах.

• 2. Сравнения 57

1. Общие понятия. 2. Теорема Ферма. 3. Квадратические вычеты.

• 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма 65
• 4. Алгоритм Евклида 67

1. Общая теория. 2. Применение к основной теореме арифметики.
2. Функция Эйлера f(n). Еще раз о теореме Ферма. 4. Непрерывные дроби. Диофантовы уравнения.

Гл а в а II. Математическая числовая система 77

Введение 77

• 1. Рациональные числа 77

1. Рациональные числа как средство измерения. 2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. 3. Геометрическое представление рациональных чисел.

• 2. Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы 83

1. Введение. 2. Десятичные дроби: конечные и бесконечные. 3. Преде лы. Бесконечные геометрические прогрессии. 4. Рациональные числа

и периодические десятичные дроби. 5. Общее определение иррацио нальных чисел посредством стягивающихся отрезков. *6. Иные мето ды определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения.

• 3. Замечания из области аналитической геометрии 99

1. Основной принцип. 2. Уравнения прямых и кривых линий.

• 4. Математический анализ бесконечного 104

1. Основные понятия. 2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. 3. «Кардинальные числа» Кантора. 4. Кос венный метод доказательства. 5. Парадоксы бесконечного. 6. Основания математики.

• 5. Комплексные числа 116

1. Возникновение комплексных чисел. 2. Геометрическое представление комплексных чисел. 3. Формула Муавра и корни из единицы.

*4. Основная теорема алгебры.

• 6. Алгебраические и трансцендентные числа 130

1. Определение и вопросы существования. **2. Теорема Лиувилля и конструирование трансцендентных чисел.

Д о п о л н е н и е к г л а в е II. Алгебра множеств 134

1. Общая теория. 2. Применение к математической логике. 3. Одно из применений к теории вероятностей.

Гл а в а III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей 143

Введение 143

Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра 146

• 1. Основные геометрические построения 146

1. Построение полей и извлечение квадратных корней. 2. Правильные многоугольники. 3. Проблема Аполлония.

• 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля 153

1. Общая теория. 2. Все числа, допускающие построение — алгебраические.

• 3. Неразрешимость трех классических проблем 161

1. Удвоение куба. 2. Одна теорема о кубических уравнениях. 3. Три секция угла. 4. Правильный семиугольник. 5. Замечания по поводу квадратуры круга.

Часть 2. Различные методы выполнения построений 167

• 4. Геометрические преобразования. Инверсия 167

1. Общие замечания. 2. Свойства инверсии. 3. Геометрическое по строение обратных точек. 4. Как разделить отрезок пополам и как найти центр данной окружности с помощью одного циркуля.

• 5. Построения с помощью других инструментов. Построения Маскерони

с помощью одного циркуля 173

*1. Классическая конструкция, служащая для удвоения куба. 2. По строения с помощью одного циркуля. 3. Черчение с помощью различных механических приспособлений. Механические кривые. Циклоиды.

*4. Шарнирные механизмы. Инверсоры Поселье и Гарта.

• 6. Еще об инверсии и ее применениях 185

1. Инвариантность углов. Семейства окружностей. 2. Применение к проблеме Аполлония. 3. Повторные отражения.

Гл а в а IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии 191

• 1. Введение 191

1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при пре образованиях. 2. Проективные преобразования.

• 2. Основные понятия 194

1. Группа проективных преобразований. 2. Теорема Дезарга.

• 3. Двойное отношение 198

1. Определение и доказательство инвариантности. 2. Применение к полному четырехстороннику.

• 4. Параллельность и бесконечность 206

1. «Идеальные» бесконечно удаленные точки. 2. Идеальные элементы и проектирование. 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами.

• 5. Применения 212

1. Предварительные замечания. 2. Двумерное доказательство теоремы Дезарга. 3. Теорема Паскаля . 4. Теорема Брианшона. 5. Замечание по поводу двойственности.

• 6. Аналитическое представление 217

1. Вводные замечания. *2. Однородные координаты. Алгебраические основы двойственности.

• 7. Задачи на построение с помощью одной линейки 223
• 8. Конические сечения и квадрики 224

1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений. 2. Про ективные свойства конических сечений. 3. Конические сечения как

«линейчатые кривые». 4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений. 5. Гиперболоид.

• 9. Аксиоматика и нееклидова геометрия 240

1. Аксиоматический метод. 2. Гиперболическая неевклидова геометрия. 3. Геометрия и реальность. 4. Модель Пуанкаре. 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия.

П р и л о ж е н и е. Геометрия в пространствах более чем трех измерений 253

1. Введение. 2. Аналитический подход. *3. Геометрический, или ком бинаторный, подход.

Гл а в а V. Топология 261

Введение 261

• 1. Формула Эйлера для многогранников 262
• 2. Топологические свойства фигур 267

1. Топологические свойства. 2. Свойства связности.

• 3. Другие примеры топологических теорем 270

1. Теорема Жордана о замкнутой кривой. 2. Проблема четырех красок. *3. Понятие размерности. 4. Теорема о неподвижной точке. 5. Узлы.

• 4. Топологическая классификация поверхностей 282

1. Род поверхности. *2. Эйлерова характеристика поверхности. 3. Односторонние поверхности.

П р и л о ж е н и е. 290

*1. Проблема пяти красок. 2. Теорема Жордана для случая много угольников. *3. Основная теорема алгебры.

Гл а в а VI. Функции и пределы 299

Введение 299

• 1. Независимое переменное и функция 300

1. Определения и примеры. 2. Радианная мера углов. 3. График функции. Обратные функции. 4. Сложные функции. 5. Непрерывность.

*6. Функции нескольких переменных. *7. Функции и преобразования.

• 2. Пределы 317

1. Предел последовательности an. 2. Монотонные последовательности. 3. Число Эйлера e. 4. Число p. *5. Непрерывные дроби.

• 3. Пределы при непрерывном приближении 330

1. Введение. Общие определения. 2. Замечания по поводу понятия предела. 3. Предел sin x . 4. Пределы при x → ∞.

• 4. Точное определение непрерывности 337
• 5. Две основные теоремы о непрерывных функциях 339

1. Теорема Больцано. *2. Доказательство теоремы Больцано. 3. Тео рема Вейерштрасса об экстремальных значениях. *4. Теорема о по следовательностях. Компактные множества.

• 6. Некоторые применения теоремы Больцано 344

1. Геометрические применения. *2. Применение к одной механической проблеме.

Д о п о л н е н и е к г л а в е VI. Дальнейшие примеры на пределы и непрерывность 349

• 1. Примеры пределов 349

1. Общие замечания. 2. Предел qn. 3. Предел √n p. 4. Разрывные

функции как предел непрерывных. *5. Пределы при итерации.

• 2. Пример, относящийся к непрерывности 355

Гл а в а VII. Максимумы и минимумы 357

Введение 357

• 1. Задачи из области элементарной геометрии 358

1. Треугольник наибольшей площади при двух заданных сторонах.
2. Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей. 3. Применения к задачам о треугольниках. 4. Свойства касательных к эллипсу и гиперболе. Соответствующие экстремальные свойства.

*5. Экстремальные расстояния точки от данной кривой.

• 2. Общий принцип, которому подчинены экстремальные задачи 366

1. Принцип. 2. Примеры.

• 3. Стационарные точки и дифференциальное исчисление 369

1. Экстремальные и стационарные точки. 2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. 3. Точки минимакса и топология. 4. Расстояние точки от поверхности.

• 4. Треугольник Шварца 375

1. Доказательство, предложенное Шварцем. 2. Другое доказательство. 3. Тупоугольные треугольники. 4. Треугольники, образованные световыми лучами. *5. Замечания, касающиеся задач на отражение и эргодическое движение.

• 5. Проблема Штейнера 382

1. Проблема и ее решение. 2. Анализ возникающих возможностей.
2. Дополнительная проблема. 4. Замечания и упражнения. 5. Обоб щение: проблема уличной сети.

• 6. Экстремумы и неравенства 389

1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положи тельных величин. 2. Обобщение на случай n переменных. 3. Метод наименьших квадратов.

• 7. Существование экстремума. Принцип Дирихле 394

1. Общие замечания. 2. Примеры. 3. Экстремальные проблемы элементарного содержания. 4. Трудности, возникающие в более сложных случаях.

• 8. Изопериметрическая проблема 401

*§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между про блемой Штейнера и изопериметрической проблемой 404

• 10. Вариационное исчисление 407

1. Введение. 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике.
2. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли.
3. Геодезические линии на сфере. Минимаксы.

• 11. Экспериментальные решения задач на минимум.

Опыты с мыльными пленками 413

1. Введение. 2. Опыты с мыльными пленками. 3. Новые опыты, от носящиеся к проблеме Плато. 4. Экспериментальные решения других математических проблем.

Гл а в а VIII. Математический анализ 425

Введение 425

• 1. Интеграл 426

1. Площадь как предел. 2. Интеграл. 3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение. 4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr. 5. Правила «интегрального исчисления».

• 2. Производная 442

1. Производная как наклон. 2. Производная как предел. 3. Примеры.
2. Производные от тригонометрических функций. *5. Дифференцируемость и непрерывность. 6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение. 7. Геометрический смысл второй производной.
3. Максимумы и минимумы.

• 3. Техника дифференцирования 455
• 4. Обозначения Лейбница и «бесконечно малые» 461
• 5. Основная теорема анализа 463

1. Основная теорема. 2. Первые применения. Интегрирование функций xr, cos x, sin x. Функция arctg x. 3. Формула Лейбница для p.

• 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм 471

1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e. 2. Показательная (экспоненциальная) функция. 3. Формулы дифференцирования функций ex, ax, xs. 4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов. 5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов.

• 7. Дифференциальные уравнения 482

1. Определения. 2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты.
2. Другие примеры. Простые колебания. 4. Закон движения Ньютона.

Д о п о л н е н и е к г л а в е VIII. 491

• 1. Вопросы принципиального порядка 491

1. Дифференцируемость. 2. Интеграл. 3. Другие приложения понятия интеграла. Работа. Длина кривой.

• 2. Порядки возрастания 498

1. Показательная функция и степени переменного x. 2. Порядок возрастания функции ln(n!).

• 3. Бесконечные ряды и бесконечные произведения 501

1. Бесконечные ряды функций. 2. Формула Эйлера cos x + i sin x = eix. 3. Гармонический ряд и дзета функция. Формула Эйлера, выражающая sin x в виде бесконечного произведения.

*§4. Доказательство теоремы о простых числах на основе статистического метода 511

Приложение. Дополнительные замечания. Задачи и упражнения 517

Арифметика и алгебра 517

Аналитическая геометрия 519

Геометрические построения 525

Проективная и неевклидова геометрия 525

Топология 527

Функции, пределы, непрерывность 530

Максимумы и минимумы 531

Дифференциальное и интегральное исчисления 533

Техника интегрирования 535

Добавление 1.

Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке 541

Добавление 2. О создании книги «Что такое математика?» 544

Рекомендуемая литература 551

Предметный указатель