Почему, если Армянская церковь - не православная, их священник участвует в Схождении Огня?

Он там просто зритель. Так исторически повелось. В Храме Гроба Господня есть регламент, который соблюдается и проверен веками.

С точки зрения церковной принадлежности храм находится в совместном владении – и соответственно под совместным управлением – нескольких христианских исповеданий. К концу средневековья в Иерусалиме – и в храме – присутствовало семь Церквей: Православная Греческая, Православная Грузинская, Католическая – и четыре Дохалкидонские Церкви Востока (монофизитские): Армянская, Сиро-Яковитская, Коптская и Эфиопская (Абиссинская, как называли ее до середины XX в.). Время и обстоятельства вносили свои коррективы. Грузинская Церковь со временем полностью утратила свои позиции в Иерусалиме. Сильная и богатая армянская община в последние два-три века, напротив, весьма укрепилась, и в ее владение перешли постепенно многие из прежних грузинских, сирийских, абиссинских святых мест. С 1832 г. армянское духовенство получило возможность наравне с православными и католиками совершать богослужение на Гробе Господнем.

Источник

Потому что Иерусалимский патриарх давно уже не является хозяином храма Гроба Господня. И то слава Богу, что его не выгоняют из храма, как иногда бывало в древности.