Можно ли неверующему человеку подать записку о здравии?

Таким образом вы попрОсите Церковь помолиться за тех, кто вам дорог. Думаю, это можно. Только те, за кого вы подаете поминания, должны быть как минимум крещены в Православной Церкви.

С уважением,

Записки, подаваемые в церкви, как правило, идут на проскомидийное поминовение. Оно, по своей сути, прямо связано с верой в жертву Иисуса Христа и возможностью ее приложения к тем лицам, которых будут поминать на богослужении. Приношение на литургию издревле принималось в Церкви только от православных христиан. Если не верить в это, то какой смысл в этом участвовать? Это же не магия.

Записки - это ведь не магические обереги, а прошения. Если не верите, есть ли смысл?

Между "нет уверенности" и "неверующим" большая разница. Будем надеяться, что Вы говорите не об атеизме, а лишь о маловерии. Так вот, в Евангелии есть рассказ об отце бесноватого отрока, который вначале жаловался на неспособность апостолов исцелить его сына, а потом со слезами сказал Христу: "Верую, Господи, помоги моему неверию". Так и Вы, если внутренне исповедуете перед Богом свою недостаточную веру, можете подавать записки, надеясь на милосердие Божие.

При этом в записке должны быть указаны лишь крещеные в Церкви и верующие люди (можно указать и Вас, если Вы крещены и имеете некую малую веру).