Разъяснение и доказательство некоторых частностей, в тексте предполагавшихся уже доказанными. XV. Некоторые понятия из учения о бесконечности ⁸²⁹.

In motu quiesco. В» непогоде тих.

Бесконечный, бесконечность приходится слышать очень часто в обыкновенном разговоре; но стоит только попросить обяснения этих слов, чтобы встретить недоумевающий взгляд. Однако, если в широкой публике – только непонимание, то среди людей, занимающихся умственной работой, на этот счет часто бывает извращенность в понимании и даже полная путаница. Очень сильные и тонкие умы часто не бывали свободны от неясностей и недоговорок в вопросе о понятии бесконечности. Недостаток места не позволяет, к сожалению, привести ряд поучительных примеров, но читатель из дальнейшего изложения и сам сообразит, на кого тут можно было бы сослаться.

Впрочем, затруднения лишь отчасти и даже в очень незначительной части зависят от отвлеченности вопроса; главная причина тут – в тенденциозности мышления, в нежелании или неумении смотреть на объект исследования прямо. Приступается к изучаемому с уверенностью, что оно уже известно; и мнимое знание, – по слову Кантора, – «hоrror infiniti», царящий в обществе, дает себя знать.

Главные ошибки, которые делаются сплошь и рядом в рассуждениях о бесконечном, появляются вследствие пренебрежения основной и совершенно элементарной дистинкцией актуальной и потенциальной бесконечности. Поэтому, мне придется подробнее, чем хотелось бы, остановиться на этом подразделении. Пока, впрочем, будет дано предварительное определение бесконечности; на нем мы основываться не станем, так как оно не упирается на достаточно простые понятия, хотя само по себе и верно.

Всякий quantum, или, – как предлагает говорить Н. И. Лобачевский, – всякое «коликое», по самому своему определению, может быть двояким. Оно может быть данным и неизменно и твердо установленным, вполне определенным, и тогда представит из себя то, что носит название постоянного или константы. Оно может также не быть определенным, может меняться, становясь больше или меньше. В этом последнем случае quantum носит название переменного. Так вот, актуальная бесконечность есть частный случай постоянного, а потенциальная – переменного «коликого», и в этом – их глубочайшее принципиальное различие, – если угодно, их существенная противоположность. Разъясним это частнее.

Пусть у нас есть переменное, и пусть оно меняется не каким-нибудь, а определенным способом, – так именно, чтобы оно становилось большевсякого постоянного «коликого» того же рода, или меньше. В каждом состоянии это переменное конечно; но в нашем понимании совокупность этих состояний отличается от совокупности каких-либо произвольно подобранных состояний. В этом смысле мы говорим, что наш quantum есть потенциальная бесконечность, потенциальная – ввиду того что он может стать более всякого другого quantum’a. Таким образом, потенциальная бесконечность не обозначает какого-либо quantum’a, в себе взятого, а только особый способ рассмотрения quantum’a, именно, в связи с характером его специального изменения. Потенциальная бесконечность, по словам Кантора, не есть идея, а – только вспомогательное понятие; оно – ens rationis, по счастливому выражению Штёкля. Одним словом, потенциальная бесконечность есть то самое, что древние называли ἄπειρον, схоластики – syncategorematice infinitum или indefinitum, новые философы – дурной или, точнее, простой бесконечностью, schlechte Unendlichkeit.

Итак, это никогда не заканчиваемое потенциальное бесконечное есть переменное конечное количество, quantum, возрастающий над всеми границами, или, наоборот, падающий ниже всякой конечной границы. Таковы, например, дифференциалы, охарактеризованные уже Лейбницем, именно за это свойство, как чистые фикции. Ввиду этого ясно, что говорить о законченной потенциальной бесконечности, – что, по словам Кантора, делал Фонтенелль, – есть contradictio in terminis.

К несчастию, бесчисленное множество, – легион, – авторитетов всех специальностей усвоило себе эту простую истину чересчур крепко и, забыв о слове потенциальная, начало разными голосами заявлять, что «законченная бесконечность» есть нечто нелепое. Отсюда вытекает старинный афоризм: «Numerus infinitus repugnat», отсюда же утверждение Тонджиорджи: «Multitudo actu infinita repugnat» и другие подобные. Этот, – вполне невинный, по-видимому, пропуск породил не одну грубую ошибку, и на ней, между прочим, держатся и первые «антиномии чистого разума» у Канта. На этом же пропуске, как увидим, основаны так называемые аргументы против законченной бесконечности и многие соображения позитивизма.

Рассмотрим теперь другой род бесконечности, – бесконечность актуальную. С этой целью мы возвращаемся к нашему исходному пункту, к понятию quantum’a, именно, quantum’a постоянного, и содержание этого понятия константы обогатим новым признаком. Некоторая константа может быть такова, что она стоит в ряду других констант того же рода, т. е. больше одних конечных констант и меньше других. Тогда она и сама будет конечной. Но может случиться, что она не стоит в ряду других постоянных, потому что она больше всякой конечной константы, как бы великой мы ее ни взяли. Тогда мы скажем, что наш quantum есть актуальная бесконечность, бесконечность in actu, actualiter, а не только in potentia.

Так, например, в диалоге «Бруно» Шеллинг ⁸³⁰ блестяще вскрывает, что каждое понятие есть бесконечность, потому что оно объединяет собою множество представлений, которое не является конечным; но так как объем понятия, по существу дела, вполне определен и дан, то эта бесконечность не может быть ничем иным, кроме актуальной бесконечности. Всякое суждение, всякая теорема носят в себе актуальную бесконечность, и в этом – вся сила логического мышления, как указывал еще Сократ.

Возьмем примеры более конкретные. Например, обращаясь к пространству, мы можем утверждать, что все точки внутри некоторой замкнутой поверхности образуют множество актуально-бесконечное. В самом деле, каждая из них вполне определена, значит и все – тоже вполне определены; но однако число их превосходит всякое из чисел ряда: 1, 2, 3… n,… и больше каждого из этих чисел. В этом же смысле мы можем сказать, что могущество Божие актуально-бесконечно, потому что оно, будучи определенным (в Боге нет изменения), в то же время больше всякого конечного могущества. ⁸³¹

Очень ярко выражает мысль об актуальной бесконечности автор книги: «О небесной иерархии», книги, приписываемой св. Дионисию Ареопагиту. «И то, по моему мнению, – говорит он, – достойно тщательного размышления, что говорит писание об Ангелах, то есть, что их тысячи тысяч и тьмы тем, умножая на самих себя числа, у нас самые высшие. Через сие оно ясно показывает, что типы небесных существ для нас неисчислимы; потому что бесчисленно блаженное воинство премирных умов. Оно превосходит малый и недостаточный счет употребляемых нами чисел, и точно определяется одним премирным их разумением» ⁸³².

В здесь рассмотренном понятии актуальной бесконечности нетрудно узнать то, что у древних было известно под именем ἀφωρισμένον, у схоластиков – под именем kategorematice infinitum‚ у новых философов – положительной, собственной бесконечности . Как выражается Гёте ⁸³³, «это – замкнутая бесконечность, более соответствующая человеку, чем звездное небо», причем последнее, конечно, разумеется именно как некоторая возможность устремляться все далее и далее, никогда не будучи в состоянии произвести синтез и успокоиться на целом.

Тут мы сталкиваемся с новым соображением. Чтобы была возможна потенциальная бесконечность, должно быть возможно беспредельное изменение. Но, ведь, для последнего необходима «область» изменения, которая сама уже не может меняться, т. к. в противном случае пришлось бы потребовать область изменения для области и т. д. Она, однако, не является конечной и, следовательно, должна быть признана актуально-бесконечной. Следовательно, всякая потенциальная бесконечность уже предполагает существование актуальной бесконечности‚ как своего сверх-конечного предела ⁸³⁴; всякий бесконечный прогресс уже предполагает существование бесконечной цели прогресса; всякое совершенствование бесконечное требует признания бесконечного совершенства. Отрицающий актуально-бесконечное в каком бы то ни было отношении тем самым отрицает и потенциальную бесконечность в том же отношении, и позитивизм несет в себе элементы собственного разложения, – так сказать, с позитивизмом происходит самоотравление продуктами его же деятельности.

Пo раcкрытoму вышe oпрeдeлeнию актуальнoй бecкoнeчнocти мoжнo заключить, чтo такая бecкoнeчнocть мoжeт быть мыcлима в двух мoдификациях. Вo-пeрвых, будучи бoлee вcякoгo кoнeчнoгo quantum’a, oна cама мoжeт oказатьcя нe имeющeй другoгo quantum’a, тoжe бecкoнeчнoгo, кoтoрый был бы бoльшe ee; другими cлoвами, тут oна oказываeтcя нecпocoбнoй быть мeньшe чeгo-либo другoгo. Этo – актуальная бecкoнeчнocть, нecпocoбная к увeличeнию, абcoлютный макcимум; как вooбщe, так и у Кантoра, oн называeтcя Absolutum. Вo-втoрых, – и этoго нe замeчали гoвoрившиe o бecкoнeчнocти, – из oпрeдeлeния актуальнoй бecкoнeчнocти вытeкаeт вoзмoжнocть втoрoгo ee видoизмeнeния. Актуальная бecкoнeчнocть, имeннo, мoжeт тут имeть над coбoю другиe quanta, бoльшиe ee cамoе; тoгда oна будeт cпocoбна к увeличeнию, будeт увeличиваeмoюактуальнoю бecкoнeчнocтью. Чтoбы избeгнуть раз навceгда путаницы cлoв и длиннoт, Кантoр даeт eй названиe cвeрх-кoнeчнocти‚ Ueberendlichkeit.

От этих формальных соображений перейдем к реальным. С актуальной бесконечностью мы сталкиваемся или, по крайней мере, можем надеяться на столкновение в трех различных областях. Во-первых‚ поскольку это актуально-бесконечное реализовано в высшем совершенстве, во вполне независимом, вне-мировом бытии, одним словом – in Deo ѕіvе natura naturante, причем последнее выражение Кантор понимает не в смысле пантеизма, а в том первоначальном смысле, который придали ему Фома Аквинский и другие богословы. Здесь бесконечное является абсолютным максимумом и есть то самое, что ранее было названо Absolutum или абсолютной бесконечностью. Во-вторых‚ актуально-бесконечное может быть предположено in concreto‚ в зависимом мире, в твари, in natura naturata. Тут Кантор называет ее Transfinitum. Наконец, в-третьих‚ актуально-бесконечное может быть in abstracto‚ в духе, поскольку он имеет возможность познавать Transfinitum в природе и, до известной степени, Absolutum в Боге. В этом последнем случае бесконечность получает название символов бесконечного. В частности, если дело идет именно о познании Transfinitum, эти символы получают название трансфинитных чисел и трансфинитных типов. Два последних вида бесконечности являются бесконечностями увеличиваемыми. ⁸³⁵