Писать ли в церковных записках имена Патриарха и правящего архиерея?

Нет особой необходимости писать в записках имена Патриарха и правящего архиерея. Они поминаются на всех службах отдельными прошениями. Например, поминаются многократно на литургии - на проскомидии, на мирной и сугубой ектении, на Великом входе и после Евхаристического канона. А если бывает молебен, то и на молебне поминаются на сугубой ектении. Впрочем, если напишете имена в записке - не согрешите.

Нет необходимости, их и так всегда поминают.

Я думаю, это хорошо, поскольку поминовение на проскомидии - это форма Вашей церковной молитвы за священноначалие. Например, если я сослужу, то по умолчанию мне следует вынимать частички за Патриарха и своего правящего архиерея, хотя то же будут делать и другие отцы.

Записка имеет определённую цель - её молитвенно прочитывает священник или диакон. Кроме проскомидии это гласная просьба о поминовении имён указанных христиан всей общиной.

Для нашей личной молитвы можно использовать помянник, но совершенно излишне напоминать священнослужителю молиться за Патриарха и правящего архиерея, если это уже включено в чинопоследование службы.

Несомненно, молитвы много не бывает, но повторять одно и то же имя много раз на общественном богослужении выглядит неразумным. Келейно можно молиться сколько душе угодно.