Может ли неверующий стать трудником?

Нет. Монастырь - это место, где собрались верующие во имя Божие.

Думаю, что нет. Трудничество - это духовная практика православного христианина ради укрепления веры. А для неверующего это не имеет смысла.

С уважением,

Самое лучшее - не спрашивать об этом в Интернете, а обратиться в конкретный монастырь и спросить об этом игумена, объяснив причину Вашего желания и согласившись с необходимостью исполнять устав монастыря (включая посещение богослужений).