Пифагорейский музыкальный ряд

Исходя из экспериментально-акустич. исследований, Пифагор и его ученики выводили гармонич. интервалы из пропорционального деления длины струн. Отсюда они получили простейшие созвучия: октаву (2:1), квинту (3:2), кварту (4:3) и определяли интервалы диатонич. тетрахорда соотношением целого тона (9:8, квинта минус кварта) и полутона, или диеза (256:243, кварта минус 2 целых тона). Использованием среднего арифметич. А – М = М – В и средне-гармонич. (А – N): А – (Н – В): В, при помощи чего можно разложить большой интервал на неравные части интервала, они на теоретич. числовой основе высчитывали интервалы различного рода тонов. Среди исчислений тетрахорда, которые привёл Птолемей, исторически важно исчисление чистой большой терции 5:4 в энгармонич. гамме Архитом, выявление чистой малой терции 6:5 в хроматич. гамме Эратосфеном и натурально гармонич. разделение диатонич. гаммы Дидимом (с большой терцией из двух полных тонов 9:8 * 10:9 = 5:4). Разницей между чистой квартой и дитоном является диатонич. полутон (диез, т. е. оставшееся) (4/3) * (64/81) = 256/243; разницей между целым тоном и диезом – апотом (т. е. отрезанное) (9/8) * (243/256) = 2187/2048. При подгонке интервалов к другим системам деления получаются небольшие остатки интервалов, или коммы; такова пифагорейская комма; 12 квинт – 7 октав = (3/2)¹² * (1/2)⁷ = 531441/524288; синтонич., или Дидимова, комма: большой полный тон – малый полный тон: 9/8 * 9/10 = 81/80. До введения выравнивающих коммаразличия (разделяющие пифагорейскую комму равномерно на 12 квинт), равнозвучащих темпераций и диезно-бемольной функциональной гармонии в 18 в. пифагорейский музыкальный ряд господствовал в музыкальной культуре Европы.