Время празднования Пасхи в Православной Церкви

§ 1. Юлианский год. В пасхальных вычислениях Православной Церкви средняя продолжительность года признаётся равной 365 ¼ с. Для того чтобы иметь дело с целыми числами, принято в нормальном году считать 365 с. Ежегодно опускаемая таким образом четверть суток в течении четырёх лет превращается в целые сутки, которые присоединяются к четвёртому году. Этот последний, называемый високосным годом, или високосом¹, является равным 366 с. Год Рождества Христова в пасхалии принимается первым по високосе. Следовательно, 4-й, 8-й, 12-й и вообще все годы по Р. X., без остатка делящиеся на 4, суть високосы. Изложенный способ летосчисления называется юлианским, потому что он введён во всеобщее употребление Юлием Цезарем (по совету греческого астронома Созигена).

§ 2. Тропический год. Тропическим годом называется время от одного весеннего равноденствия до другого. Длина тропического года несоизмерима с длиною суток; она не может быть выражена целым числом их². Для 1900 г. она (по Ганзену) равняется 365,2421977 с. (375 д., 5 ч., 48 м., 45,2 с). Продолжительность тропического года в настоящую эпоху ежегодно уменьшается на 0,0000000624 сут. Впрочем, все эти данные выведены из наблюдений последних 150 г.; поэтому они не могут быть названы точными, так как измерение длины тропического года нуждается в гораздо более продолжительных наблюдениях. Дело в том, что продолжительность тропического года есть величина переменная. Главной причиной изменчивости года служит постоянное перемещение точек весеннего равноденствия (предварение равноденствия, прецессия). Законы прецессии пока ещё не изучены. Кроме того, на изменение длины года имеют влияние морские приливы и отливы; вследствие их трения в последние две тысячи лет земля запоздала на 22 секунды. Наконец, продолжительность года может изменяться вследствие противодействия движению земли междупланетной среды, по причине увеличения массы солнца падающими на него метеоритами и пр. Влияние всех этих условий на продолжительность года ещё не изучено в достаточной мере. – Юлианский год более тропического приблизительно на 0,0078 сут. В 128 л. эта разница достигает почти 1 сут. Вследствие различая между юлианским и тропическим годами весеннее равноденствие, бывшее во времена первого вселенского собора 21 марта, в настоящее время совпадает с 8-м марта.

§ 3. Обозначение седмичных дней в пасхальных вычислениях. Подобно тому как в алгебре в целях удобства для вычисления количества выражаются буквами, в пасхальных таблицах седмичные дни обозначаются 7 буквами славянского алфавита, соответствующими ряду чисел от 1 до 7 и называемыми вруцелетними буквами³. Вруцелетная буква, соответствующая в данном году числам воскресенья, называется вруцелетом⁴. Вруцелетние буквы располагаются в, церковном месяцеслове в порядке обратном числам месяцев; именно, 1-е число обозначается буквой З, 2-е – Ѕ, 3-е – Е и т. д.

Обратный, убывающий порядок вруцелетних букв совершенно противоположен прямому порядку вруцелет в круге солнца. Различие это объясняется тем, что обыкновенный юлианский год содержит в себе 52 нед. и 1 день. Следовательно, каждый год должен начинаться днём позже сравнительно с предшествующим годом. Отсюда и происходит различие в порядке вруцелет и вруцелетних букв. Яснее это видно из следующего примера. Вруцелетные буквы марта располагаются в таком порядке:

1, 2, 3      …

Г, В, А      …

Если в данному году 1-е марта совпадает с пятницей, то вруцелетом года является А. В следующем году 1-е число должно случиться в субботу: следовательно, его вруцелетом будет В. Ещё через год 1-е марта будет в воскресенье; поэтому вруцелетом этого последнего года должна быть буква А. Таким образом прямой порядок вруцелет обусловливается обратным порядком вруцелетних букв.

В пасхальных вычислениях первым месяцем года признается март по тому предположению, что в этот месяц был сотворён мир. Поэтому порядок вруцелетних букв начинается с 1-го марта. 1-е марта обозначается буквой Г.

Обычай обозначать 1-е марта буквой Г имеет своё начало в византийских пасхалиях, ведущих счёт годов и месяцев от сотворения мира (VII–VIII вв.). Он объясняется желанием в начале вруцелет иметь А. Если начать счёт, вруцелетних букв со дня творения человека и признать, что этот день (6-й день недели, пятница) совпал с 1-м марта, то вруцелетом 1-го года мироздания может быть А только в том случае, если вруцелетней буквой 1-го марта будет Г.

Первые 4 вруцелетние буквы, З, Ѕ, Е, Д, в таблице мартовских вруцелетних букв остаются без соответственных чисел, как это видно из прилагаемой таблицы.

Количество вруцелетних букв, остающихся без чисел месяцев, называется недостающим числом месяца. Недостающие числа существуют во всех месяцах кроме апреля и июля. – Всякая вруцелетная буква, принимаемая в значении цифры, вместе с соответствующим ей числом месяца равняется 8; так З + 1 = 8; Ѕ + 2 = 8 и т.д. Поэтому через вычитание из 8 данного числа месяца можно получить его в вруцелетную букву. Указанный способ определения вруцелетних букв приложим только к тем месяцам, в которых 1-му числу соответствует вруцелетняя буква З, т.е. к апрелю и июлю. Во всех остальных месяцах вруцелетние буквы находятся в иных соотношениях с числами месяцев. В них число месяца вместе с вруцелетной буквой становится равным 8 только при том условии, если к нему будет прибавлено недостающее число месяца. Следовательно, вруцелетная буква данного числа равняется разности между 8 и числом месяца, сложенным с недостающим числом. Если обозначить вруцелетную букву через l, число месяца – n, недостающее число – h, то вруцелетная буква будет определяться формулой, l = 8 – (n + h).

Эта формула удобна для определения вруцелетних букв всех месяцев, не исключая апрель и июль, недостающее число которых можно принимать равным 0. При определении вруцелетних букв числа большие 7 должны быть заменяемы остатками от деления их на 7, так как тем и другим соответствуют одни и те же вруцелетние буквы, в чём можно убедиться из представленной выше таблицы. Если в результате вычисления получается 0, то он принимается равным 7.

Так как вруцелетние буквы располагаются в порядке обратном алфавитному, то, зная вруцелето известного года, по данной вруцелетной букве какого-либо числа месяца легко определить его седмичный день. В этом случае место, занимаемое данной вруцелетной буквой в ряду вруцелетних букв седмицы, соответствует месту данного дня в неделе. Другими словами, седмичный день равняется разности между вруцелетом года и вруцелетной буквой данного числа месяца. Если обозначить вруцелето года через Т, вруцелетнюю букву – через l, седмичный день через d, то d=T – l

Заменяя в этой формуле l указанным выше его значением, получаем d = T – |8 – (n + h)|.

По раскрытии скобок эта формула получает следующий вид: d = T – |8 – | n | h |. Переносим – 8 в первую часть уравнения: d + 8 T + n + h. Число 8, как большее 7, заменяем остатком от деления его на 7, т.е. 1; получается d + 1–T + n + h. Перенося число 1 во вторую часть уравнения, получаем d = T + n + h – 1.

При определении седмичных дней из чисел больших 7 должны быть исключаемы целые седмицы, т.е. они должны быть заменяемы остатками от деления их на 7.

§ 4. Общий вид пасхальных формул. В пасхальных вычислениях большей частью отыскиваются остатки от деления определённых чисел. Сообразно с этой особенностью вычислений пасхальные формулы имеют характерный вид. Типом для большинства пасхальных формул может служить следующее уравнение: x = R (^m/_n), т. е. х ровняется остатку от деления m на n. В этом в выражении R не имеет характера множителя, а есть простой условный знак, отличающий пасхальные формулы от всяких других формул.

§ 5. Некоторые замечательные свойства остатков от деления целых чисел.

а) остаток не изменится, если к делимому прибавить или от него отнять число кратное делителя.

b) В многочлене-делимом каждый член может заменяться остатком от деления его на делитель.

Если в делимом известное число заменить остатком от деления его на делитель, то, конечно, произойдёт некоторое изменение делимого, его увеличение или уменьшение. Но на остаток это не произведёт никакого влияния, так как в этом случае из делимого исключается количество, дающее при делении его на делителя в остатке 0. Подобным-же образом можно доказать то положение, что, если в делимом – многочлене находятся остатки от деления известных количеств на делителя всего многочлена, эти остатки могут быть заменены полными делимыми.

c) В том случае, когда делимое меньше делителя, целое частное равняется 0, а в остатке получается само делимое.

5

По этому правилу можно всякое число изображать в виде остатка от деления его на какое угодно большее число.

d) При делении какого-либо числа x на n обыкновенно получаются остатки в пределах от 0 до n–1. По иногда требуется получать остатки в пределах от 1 до n, от 2 до n + 1, от 3 до n + 2 и т.д. Для этого должно от делимого отнять столько единиц, на сколько требуется передвинуть остатки, и приложить их к остатку. Так, напр., если числа

§ 6. Постановление первого вселенского собора о времени празднования Пасхи. Основанием пасхалии служит следующее правило, обыкновенно усвояемое первому вселенскому собору: праздновать Пасху после Пасхи еврейской, в первый воскресный день за полнолунием, которое будет в самый день весеннего равноденствия или непосредственно после него⁵. Из этого постановления следует, что для определения времени празднования Пасхи в данном году, необходимо: 1) определить время пасхального полнолуния, 2) определить его седмичный день.

§ 7. Золотое число. Определение пасхальных полнолуний является возможным потому, что фазы луны повторяются в одни и те-же числа месяцев приблизительно через 19 лет. Этот 19-ти летний период называется кругом луны. Место данного года в текущем круге луны называется золотым числом⁶. Началом лунных кругов Александрийская Церковь принимала 285 г. по P. Хр.⁷ Поэтому, для того чтобы определить золотое число данного года, должно предварительно узнать, каким следует данный год от начала лунных кругов, т.е. – вычесть из него 284. Если полученную таким образом разность разделить на 19, то частное будет означать число протекших до данного года кругов луны, a остаток – золотое число года. Означая данный год через N, a его золотое число через А получаем следующую формулу золотого числа:

При определении золотого числа, как и при делении всякого числа на 19, могут получаться остатки в пределах от 0 до 18. Но остаток 0 не может быть золотым числом; в этом случае он означал-бы, что данный год не занимает никакого места в кругу луны, что, очевидно, нелепо. Подобным-же образом из отсутствия остатка 19 вытекает то нелепое следствие, что в 19-ти-летнем кругу луны ни один год не занимает последнего 19-го места. Во избежание этих несообразностей при определении золотого числа должно передвинуть остатки на 1 (§ 5, d). Формулу,

§ 8. Епакта. Юлианский год почти на 11 сут. более лунного года. Поэтому если юлианский и лунный годы начинаются в один и тот-же день, то последнему дню юлианского года будет соответствовать приблизительно 11-й день второго лунного года, т.е. к началу второго юлианского года луна будет иметь возраст около 11 дней. Возраст луны в начале солнечного года называется епактой⁸.

§ 9. Епакта у древних греков. Основой летосчисления древних греков был октоэтерид, восьмилетний цикл; они полагали, что через каждые 8 лет фазы луны повторяются и что начало 9-го лунного года совпадает с началом года солнечного. Солнечный год они принимали равным 365 ¼ сут., a лунный месяц – 29 ½ сут. Разница между солнечным и лунным годами у них была равной 11 ¼ сут. Это число было епактой 1-го года октоэтерида. Во 2-й год епакта равнялась 22 ½ с. К концу 3-го года епакта достигала 33 ³/₄ с. Поэтому в этом году вставлялся 13-й эмболимический месяц⁹, и епакта принималась равной 3 с. Епакта 4-го года равнялась 15 с. (3 ³/₄ – 11 ¼). В конце 5-го года епакта возрастает до 26 ¼ с. В этом году принято вставлять эмболический месяц и епакту считать равной отрицательному числу -З ³/₄ с. (26 ¼ – 30). Епакта 6-го года равняется 7 ½ с. (11 ¼ – 3³/₄), епакта 7-го года – 18³/₄, епакта 8-го года должна равняться 30; но её принимали за эмболимический месяц вследствие чего эпактой 8 года считался 0. –Определение длины солнечного года в октоэтериде должно признать достаточно точным при состоянии астрономических познаний в древности. Но длина лунного месяца в октоэтериде – менее действительной (29,53 с.). Вследствие этого по прошествии 1-го цикла фазы луны должны опаздывать сравнительно с числами месяцев на 1 ½ сут.

Метон (в 432 г. до Р. Хр.) октоэтерид заменил 19-ти-летним кругом луны. В этом цикле 110 месяцев принимались равными 29 сут. и 125 м. – 30 с. Длина солнечного года по Метону равняется 365 ⁶/₁₉ сут., длина лунного месяца – 29,5302 сут. Если в определении продолжительности солнечного года Метон допустил ошибку, то длину лунного месяца он определил точнее своих предшественников. Древняя Церковь в пасхальных, вычислениях пользовалась метоновым циклом.

§ 10. Александрийская епакта. Отцы Александрийской Церкви, принимая епакту равной 11 с., называли этим именем возраст луны 21 марта; при этом возраст луны считался равным числу дней со дня астрономического новолуния до 21 марта включительно. Если возраст луны 21 марта был равен 30, то епакта принималась равной 0, a самый этот день признавался днём новолуния.

1-ий год лунного круга действительно имеет епакту 0. Но 20-й год имеет епакту 29. Её принимали равной 30, для того чтобы с 20-го года, золотое число которого 1, начать счёт годов нового лунного круга. Таким образом к епакте 19 года в 20 г. прибавлялось не 11, а 12 суток. Этот приём искусственного увеличения епакты в пасхалии называется „sallus lunae».

Действительная разность между тропическим и лунным годами несколько менее 11 суток: она приблизительно равна 10,89 с. Происходящая отсюда неточность в некоторой мере исправляется тем, что, когда годовая епакта превышает 30 c., из неё вычитается не средний лунный месяц, a большее его число, 30 дней.

Вследствие того, что в различных 19-тилетних периодах високосные годы распределялись различным образом, епакты годов, соответствующих одним и тем-же золотым числам, должны быть различны. Но это различие не принималось во внимание для простоты счёта.

Ряд александрийских епакт представляет из себя арифметическую прогрессию, первый член которой равен 0, a разность равняется 11. Отсюда епакта всякого года легко может быть определена по его золотому числу.

E = 0 +11 (A – 1).

Исключая из этого количества целые месяцы, получаем:

Так как

Обозначая полученное количество через L и вставляя его в формулу епакты, получаем

§ 11. Определение пасхального полнолуния. Зная возраст луны к 21 марту, легко определить, когда наступит полнолуние, т.е. когда возраст луны достигнет 14 ½ дней. Если, напр., епакта равняется 12, то 22-го марта луна будет иметь возраст 13 дней, 23 – 14 дн., a 24-го будет пасхальное полнолуние. Если обозначить полнолуние через V, то оно будет определяться по следующей формуле:

Ѵ = 14 – Е + 1, или Ѵ = 15 – Е.

Посредством этой формулы отыскивается полнолуние при епакте меньшей 15. Епакта 15 указывает на то, что пасхальное полнолуние совпадает с 21 марта. Если-же епакта будет >15, то в этом случае сначала должно определить время ближайшего новолуния. Если обозначить новолуние через u, то число дней от 21 марта до ближайшего новолуния будет равняться U=30 – Е. Прибавивши к этому количеству 15, число дней от новолуния до полнолуния, мы находим время пасхального полнолуния; Ѵ = 45 – Е. К этому количеству должно прибавить 21 и из суммы вычесть число дней марта, если она будет >31; полученный остаток будет означать число дней апреля.

По §5, с формула, Ѵ =15 – Е, может быть заменена формулой,

По § 5, b

Гаусс нашёл способ определять пасхальное полнолуние по золотому числу без посредства епакты. Если принять L A – 1, то число дней, отделяющих пасхальное полнолуние от 21 марта, по Гауссу равняется R (). К сожалению, трудно решить, каким путём он пришёл к этой формуле.

По пасхальным вычислениям пасхальное полнолуние не может совпасть с 23, 26, 28 и 31 числами марта, a также с 3, 6, 8, 11, 14 и 16 числами апреля. Хотя с астрономической точки зрения это неверно, но Церковь мирится с этой неточностью, для того чтобы не нарушить простоты счёта. Не должно смущаться также тем, что в настоящее время пасхальное полнолуние случается тремя днями позже астрономического полнолуния. Это обстоятельство, проистекающее из недостаточной правильности метонова цикла, Церковь игнорирует ради удобств этого последнего для летосчисления.

§ 12. Круг солнца. Для определения седмичного дня пасхального полнолуния в известном году необходимо найти вруцелето года. Основанием для определения вруцелета служит так называемый круг солнца.

Выше (§ 3) мы уже говорили, что каждый год, следующий за простым годом, начинается днём позже сравнительно с предыдущим, и если, напр., вруцелетом 1902 г. была буква А, то вруцелетом 1903 г. должна быть буква В и т. д. Если-бы все годы были простые, то в течение 7 лет все вруцелетние буквы по очереди были-бы вруцелетами, и этот порядок повторялся-бы через каждые 7 лет. Но високосные годы нарушают этот порядок. Так как високосный год содержит в себе 52 недели и 2 дня, то, очевидно, год, следующий за високосом, должен начаться двумя днями позже предшествующего. Только в течение 7 високосов, т.е. в продолжении 28 лет устанавливается один неизменный порядок следования вруцелет. Этот период называется кругом солнца¹⁰.

В церковном летосчислении началом кругов солнца признается год сотворения мира. Год Рождества Христова был 20-м годом 194-го круга солнца; до следующего круга солнца оставалось 8 лет. Поэтому для определения круга солнца по отношению к данному году должно из него вычесть 8 и разность разделить на 28. Полученное частное будет означать число прошедших кругов солнца, a остаток – порядок данного года в текущем круге солнца. Таким образом место данного года в кругу солнца (С) равняется

Остаток 0 принимается равным 28.

§ 13. Определение седмичного дня пасхального полнолуния по вруцелету года. Так как 1-й по високосе год начинается двумя днями позже предшествующего, то его вруцелето должно быть двумя единицами более вруцелета предшествующего високосного года. Но после того как началом гражданского года стал признаваться январь, вруцелето церковного високосного года, начинающегося с марта, неизбежно должно увеличиться единицей, т.е. оно должно быть более вруцелета предшествующего года на 2, так как лишний день високосного года (29 февраля) стал предшествующим по отношению к церковному високосному году. Наоборот, для вруцелет годов, следующих за високосом, должен оставаться тот-же порядок какой существует для вруцелет простых годов. Следовательно, вруцелета в кругу солнца следуют в порядке лет, увеличиваясь единицей в високосные годы. Итак, для определения вруцелета данного года до̀лжно к числу, означающему порядок года в круге солнца, прибавить столько единиц, сколько до него прошло високосов от начала текущего круга солнца и полученную сумму разделить на 7, т.е. исключить из неё целые седмицы. Если обозначить порядок данного года в круге солнца через С, то его вруцелето Т будет равняться

Заменяя в данной формуле С вышеуказанным его значением, получаем следующую сложную формулу:

Так как 28 есть число, краткое по отношению к 7, то по § 5, b данная формула может быть преобразована в следующую:

Зная вруцелето года, нетрудно определить седмичный день пасхального полнолуния. Если число месяца, с которым совпадёт полнолуние, обозначить через V, то по § 3 седмичный день его (d) будет равняться

§ 14. Время празднования Пасхи. По церковному постановлению Пасха должна праздноваться в 1-й воскресный день после пасхального полнолуния (§ 6). Если d, седмичный день пасхального полнолуния, вычесть из 7, числа дней недели, то остаток будет показывать число дней, отделяющих пасхальное полнолуние от следующего ближайшего воскресения. Если этот остаток сложить с числом пасхального полнолуния, то сумма будет означать время празднования Пасхи. Следовательно, день празднования Пасхи (D) равняется v + 7 – d.

Итак, время празднования Пасхи в Православной Церкви определяется по следующим формулам:

D = v + 7 – d (§ 14)

§ 15. Примеры. Будем определять время празднования Пасхи в 325 г., в 1915 г. (ближайшая ранняя Пасха) и в 1983 г. (ближайшая поздняя Пасха).

325 г.

44 – 31 = 13; V = 13 апр.;

1915 г.

D = 21 + 7 – 6 = 22 марта.

1983 г.

D = 18 + 7 – 0 = 25 апр.