Опыты математического решения философских вопросов

Математика является двойственной наукой. С одной стороны она лежит в основе всего положительного знания; отсюда следует, что она должна быть доступна и близка всем. С другой стороны она оказывается дисциплиной знакомой очень немногим, и ее символы – √, ∫∫ dxdy, ∞, % и другие – смущают умы не менее, чем масонские знаки. Математика и наиболее разработанная и наименее известная из наук. Ее выводы в глазах толпы непогрешимы, но не только основания этих выводов, а и их смысл большинству часто представляется непонятным. И предполагаемая непогрешимость и открывающаяся таинственность математики уже с глубокой древности заставляли людей возлагать на нее надежды, что в ее истинах и положениях содержится решение важнейших для человечества проблем, т. е. проблем философских, включая в них и вопросы религии. Настоящий очерк представляет собой попытку произвести обозрение и оценку таких опытов математического решения философских вопросов, причем заранее должно оговориться, что обозрение будет очень неполным, а оценка – очень неуверенной. В оправдание того и другого недостатка автор не находит ничего лучшего, как сослаться по примеру древних софистов на сложность предмета и краткость человеческой жизни.

Различным образом привлекалась наука о числе и протяжении к решению метафизических и теологических проблем. Утилизацию ее можно свести к четырем типам: 1) Из математики создали мистическую математику: числам, чертежам и формулам самим по себе придавали какое-то сакраментальное значение. 2) Совершенно противоположным приемом утилизации математики является привлечение ее к решению вопросов философии и богословия в таком виде и по таким методам, как она привлечена к решению проблем механики, астрономии и физики. 3) Третий тип философского пользования математикой исходит из того, что математические науки априорны, что они, следовательно, отражают в себе природу нашего мышления, и поэтому доставляют нам драгоценнейший материал для решения проблем гносеологии. 4) Четвертый тип совершенно противоположный третьему исходит из того начала, что математические основы апостериорны, созданные ограниченным опытом и употребляемые для построения теорий о безграничной вселенной они и приводят к противоречиям, антиномиям, абсурдам и просто к заблуждениям. Но правильно понятые они дают основания для новых взглядов и на наше познание и на окружающую нас действительность.

Постараюсь определить эти четыре типа подробнее и яснее.

1

Слово «мистика» в различных случаях и различными мыслителями употребляется не в тожественном смысле. И мистическая математика неодинакова у различных ее адептов. Однако можно указать некоторые общие черты в ее понимании. Мистическая математика усвояет фетишистическое значение числам, формулам и фигурам, причем фетишистическая сила может быть и не во всех числах и фигурах, – у разных мистиков – в разных, может быть различной по величине и по качеству – большой и малой, благоприятной и неблагоприятной. Фетишизм вообще есть признание присутствия божественной силы в каком-нибудь объекте, обыкновенно – в неодушевленном предмете, чаще всего в камне, далее – фетишизм распространяется и на одушевленные существа. В мистической математике фетишизм распространяется на абстракции, устанавливается факт неразрывной связи между некоторыми идеями и представлениями с одной стороны и божественной силой с другой. Как поверхность куба неотделима от его двугранных или телесных углов, так благоприятная сила неотделима от семи и неблагоприятная – от тринадцати. Если общий характер силы фетиша и подлежит определению, как божественной, демонической, благоприятствующей или противодействующей, то за всем тем в понятии этой силы обыкновенно мыслится некоторая неопределенность и даже неопределимость. В этом отношении математические фетиши, кажется, счастливее всех прочих. За ними признается безусловная разумность, сила организующая, гармоническая, эстетическая и даже этическая.

Свойства чисел и математических комбинаций естественно вызывали удивление, а из удивления рождалось суеверие. Какому ребенку в детстве не предлагали задачи расставить девять первых чисел в девяти клетках квадрата так, чтобы сумма их, по какой линии ни считать, неизменно равнялась бы 15 и в каком ребенке магический квадрат, построенный согласно этому требованию не вызывал интереса и удивления?

Но магическое значение этого квадрата парализовалось тем, что мало-мальски смышленый ребенок мог его составить сам. Однако возможно, что и смышленый ребенок задумался бы, если бы ему перефразировали задачу о девятиклеточном квадрате и предложили разместить в нем разные числа так, чтобы сумма их по всем направлениям равнялась году начала мировой войны.

Степень магичности квадрата еще более может быть повысилась в его глазах, если бы ему предложили такой, в шестидесяти четырех клетках которого различные числа расставлены так, что сумма их по всем линиям неизменно равна цифре текущего года.

Тайна образования этих и подобных квадратов легко может быть выяснена, но и после выяснения уму может представляться загадочным факт существования таких свойств у чисел, которыми обуславливается возможность у них подобных комбинаций. А комбинаций и свойств, способных внушать удивление у них можно находить без конца. Человеку говорят: пишите нечетные числа в последовательном порядке, начиная с единицы, сколько вы их не напишите, сумма их всегда будет равна квадрату их числа. Если их написано 5 (1, 3, 5, 7, 9), сумма их = квадрату 5 = 25; если их написано 9 (1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17), квадрату 9 = 81 и т. д. Подобное открывается относительно геометрических фигур. Предлагают из какой угодно точки касательной параллельной диаметру окружности провести две прямые к концам диаметра, площадь образованного таким образом треугольника будет равна квадрату радиуса окружности, между тем как число различных треугольников удовлетворяющих подобным условиям бесконечно.

Легко доказать, что так должно быть, из данных условий неизбежно вытекают открывающиеся следствия, но в мировом порядке условия всегда являются для нас обусловленными. Что, какая сила обусловливает отмеченные арифметические и геометрические факты? Умы реалистического склада не ставят этих вопросов, но умы, пытающиеся проникнуть в основы и бездны бытия, останавливаются перед ними. Паскаль шестнадцати лет от роду напечатал Essai pour les coniques. 1640. В этом сочинении он дал замечательную теорему, что у шестиугольника, вписанного в конические сечения точки пересечения его продолженных противоположных сторон лежат на одной прямой. Паскаль положил эту теорему в основу теории конических сечений. Его шестиугольник называется Hexagrammum mysticum – шестиугольником мистическим. Для Паскаля прежде всех открылся факт и его несомненность, но он не преисполнился верой в свой и вообще в человеческий гений, а поразился мудростью факта и взглянул на него мистически.

Разумеется, в одних одно вызывает удивление, в других – другое. Но в области математики имеются факты такой связи, гармонии и целесообразности, которые при первом ознакомлении, кажется, должны поразить всякого. Таковым является взаимоотношение чисел е=2,71828182846… и π = 3,14159265359… Число

называют основанием неперовых логарифмов. Это неверно, потому что Непер принял Δ, равным одной десятимиллионной, а его нужно приравнять бесконечной малой величине. Число π есть отношение окружности к диаметру. Одно из этих чисел алгебраическое, другое – геометрическое, оба они трансцендентны, т. е. не могут быть выражены ни рациональными, ни иррациональными величинами. Существование общих свойств – хотя бы и необычных, – между числами неудивительно, но оказывается, что между этими двумя числами, явившимся в различных областях математики и по различным побуждениям, существует исключительное родство. Число е возведенное в степень π, умноженное на корень из минус единицы, будет равно минус единице, т. е.

Так, при некоторой своеобразной комбинации, где фигурирует величина мнимая, из чисел невыразимых никакими числами и радикалами и в сущности неизмеряемыми единицей, получается препростенькая единица – начало и основание исчисления. Комбинации е и π дают возможность установить бесчисленное количество теорем и предложений. В ряду этих предложений должно поставить такое, что эти трансцендентные числа имеют особое родство с простыми числами 19, 43, 67, 163, у которых открывается много своеобразных свойств, но должно отметить, что в математической мистике народов эти числа совсем не фигурируют.

Древние поражались не только свойствами фигур и чисел, но еще и таким обстоятельством, что задачи вызываемые жизнью и на вид очень простые, иногда оказывались совершенно неразрешимыми. Наиболее известной из этих задач является задача о квадратуре круга. Квадрат описанный вокруг круга больше его, квадрат вписанный в круг меньше его, между этими двумя квадратами существует бесчисленное множество иных меньше первого и больше второго, и один из них должен быть равен кругу, но как найти его? Задача и проста и жизненна; практически, приблизительно решать ее ничего не стоит, но как решить ее математически, как выразить в числе и линии величину квадрата равновеликого кругу? И еще другая задача такая же простая на вид и также часто встречающаяся в практике представилась уму древних: разделить угол на 3 равные части. Легко разделить угол на 2, 4, 8, 128, 512 и многие иные части, отчего нельзя найти приема для деления его на три части, для построения и вычисления линий, требующихся для этого деления. Умы поражались простотой и неразрешимостью задачи. Очевидно, требовалась необыкновенная мудрость для решения, но вместе с тем простота задачи подсказывала мысль, что эта мудрость должна быть простой. О простоте божественной мудрости говорила задача и о своей тесной связи с этой мудростью. Древность поэтому и само происхождение этих задач возводила к богам. Древние математики еще много занимались вопросом об удвоении куба. В сущности эта задача тождественна с задачей о делении угла на три равные части. Если найти прием, при помощи которого можно было бы извлекать кубические корни из линии, как извлекаются квадратные, то и всякий угол можно было бы делить на трое и можно бы было построить кубы вдвое больше данных. Но циркуль и линейка беспомощны для извлечения кубических корней и решения кубических уравнений. Не решив задачи, древность сложила печальное сказанье. Когда в Греции была моровая язва, дельфийский оракул сказал, что умилостивить богов можно, удвоив золотой алтарь Аполлона, который имел и должен был сохранить форму куба. Из неразрешимости задачи вытекало, что умилостивление богов невозможно.

Система счисления у различных народов с глубокой древности была десятичной. Причиной этого должно считать свойства числа десять. Со свойствами π, е люди ознакомились поздно, со свойствами десяти они должны были ознакомиться на первых ступенях культуры. Число десять поразило их и они усмотрели в десяти число устрояющее и организующее мир. Спевсипп (Σπεύσιππος), племянник Платона (род. около 395 г., покончил самоубийством в 334 г.), написал βιβλίδιον γλαφυρόν, отрывок из этой книжки, помещенный в Theologumena arithmeticae, перевел Таннери. Спевсипп так трактует о десяти:

«Число десять – совершенно; поэтому вполне справедливо и естественно, что эллины, безо всякого предварительного соглашения, сошлись со всеми народами всех стран в десятичном способе счисления; оно обладает также несколькими свойствами, приличествующими такому совершенству.

Во-первых, оно должно быть четным, чтобы заключить собой столько же четов, как и нечетов, без численного превосходства одного из этих родов чисел; действительно, так как нечет предшествует чету, то всегда окажется лишний нечет, если число нечетное.

Кроме этого равенства подобает также, чтобы существовало и другое – между числами первыми или простыми и вторыми или сложными, и это равенство существует для 10, между тем как ни одно из низших чисел не дает его; из высших чисел его можно найти в 12 и некоторых других, но 10 – их прототип, первое из чисел, имеющих это свойство наименьшее из всех, которые им обладают; таким образом, одно из свойственных ему совершенств – заключать собой равное число сложных и простых чисел.

Оно дает еще третье равенство – между числом произведений и множителей этих произведений, при чем множители идут до 5, а их произведения от 6 до 10. Семь не может быть получено от умножения каких бы то ни было чисел, а потому должно быть исключено, но зато нужно прибавить 4, как производное от 2-х, так что равенство восстанавливается.

Сверх того 10 заключает в себе все отношения равенства, превосходства, подчиненности, возможные между последовательными числами, и другие, а равно линейные, плоские и телесные числа, так как 1 есть точка, 2 – линия, 3 – треугольник, 4 – пирамида, и каждое из этих чисел первое в своем роде и начало ему подобных. А эти числа образуют первую из прогрессий, а именно разностную, и общая сумма ее членов – число 10.

В плоских и телесных фигурах первые элементы также точка, линия, треугольник и пирамида, заключающиеся в числе 10 и в нем же находящие свое завершение.

Так, например, у пирамиды 4 угла или 4 стороны и 6 ребер, что составляет 10. Интервалы и пределы точки и линии дают также 4, стороны и углы этого треугольника 6, т. е. опять таки 10.

То же мы найдем, если станем исчислять фигуры. Действительно, первый треугольник – равносторонний – имеет как бы только одну сторону или один угол по причине равенства углов и сторон, и потому что равное всегда неразличимо и единообразно.

Второй треугольник – полуквадрат, ибо, имея неравными только 2 стороны или 2 угла, он соответствует диаде.

Третий – гемитригон – половина равностороннего треугольника, так как в нем нет равных элементов, а число их 3.

Поступая таким образом с телесными фигурами, найдем число 4, следовательно придем опять таки к декаде.

Действительно, первая пирамида представляет собой как бы единицу, имея, так сказать, одно ребро или одну грань по причине их равенства. Вторая пирамида является в том же смысле диадой, так как ее углы при основании образованы тремя плоскостями, а угол при вершине четырьмя, так что это различие уподобляет ее диаде. Третья пирамида, построенная на полуквадрате являет триаду. К различию элементов, которое мы видели в полуквадрате, как плоской фигуре, она прибавляет еще одно, соответствующее углу при вершине; и так есть соответствие между триадой и этой пирамидой, вершина которой лежит на перпендикуляре, восстановленном из середины гипотенузы основания. Наконец, тем же способом можно найти тетраду в четвертой пирамиде, имеющей в основании гемитригон.

Итак, эти фигуры завершаются в числе 10. То же и относительно возникновения, ибо для величины первое основание – точка, второе – линия, третье – поверхность и четвертое – тело»¹).

Таннери высказывает предположение, что Спевсиппом было высказано еще многое в том же духе. Возможно тем более, что в приведенном отрывке Спевсипп не исчерпал и действительных свойств десяти известных древним.

Числа управляют миром. Отсюда следует, что в миpе царствует законосообразность и порядок. Изучение чисел дало основания древним установить еще положения, что в числовом управлении вселенной содержатся эстетические и этические начала и что идеалом этого управления является совершенство.

Древние знали гармонические пропорции. Общий вид их: а : b = (а – с) : (с– b), т; е. первая величина относится ко второй так, как первая без третьей относится к третьей без второй. В геометрии это представляется в виде гармонического деления:

AB : AC = (AB – AD) : (AD – AC). Если взять натуральный ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5… и на них разделить единицу, то получится новый ряд

у которого из каждых трех последовательных членов образуется гармоническая пропорция:

обратимся от чисел к музыке. Вот, что представляют элементарные величины акустики.

Не говоря о двух звуках, вполне тождественных по высоте (интервал 1 : 1, или унисон), – постепенно меньшую и меньшую степень сродства и созвучия находим при интервалах:

1 : 2 (октава),

2 : 3 (квинта),

3 : 4 (кварта),

4 : 5 (большая терция),

5 : 6 (малая терция),

Дальнейшие интервалы 6:7, 7:8, 8:9... дают в большей или меньшей степени диссонанс.

Октава мало отличается от унисона. Интервал, превышающий октаву, имеет почти такое же значение, как если бы нижний звук был поднят на октаву (например, дуодецима 1:3 сходна с квинтой 2:3).

В гармоническом ряду чисел

1:2:3:4:5:6

мы находим все созвучные интервалы, расположенные по степеням их музыкального совершенства²).

Связь простейших чисел с музыкальной гармонией и побудила древних ряд числовых отношений назвать гармоническими. Сам факт этой связи представился им доказательством того, что красота звуков создается числами.

И в самых числах, в их комбинациях, в образуемых ими рядах они усматривали красоту. Но этого мало. Они признали существование между числами нравственных отношений. Создался цикл дружественных чисел. Знание их Ямвлих возводил к Пифагору. У него спросили, что такое друг, и он ответил: тот, который является другим «я», как числа 220 и 284. Эти числа характеризуются тем, что сумма множителей первого равна второму, и сумма множителей второго равна первому. 220=1+2+4+71+142, на каждое из этих слагаемых делится 284 и не делится ни на какое иное. 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110, на каждое из этих слагаемых делится 220 и не делится ни на какое иное. Этот факт привел к выводу, что одно из этих чисел есть alter ego другого. Друг есть alter ego. Высший нравственный идеал без сомнения состоит в том, чтобы я другого было человеку также дорого, как его собственное. Люби ближнего, как самого себя. Прототип такого взаимоотношения Пифагор усмотрел в дружественных числах.

И образы совершенства греческие мыслители усмотрели в числах. Совершенными названы ими числа, которым равны сумме всех своих делителей. 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14. Таким же условиям удовлетворяют 496; 8128 и еще найдены 5 чисел, наименьшее из них имеет 8, наибольшее 37 знаков. Может быть в признании таких чисел совершенными руководились мыслью, что совершенная гармония обуславливается получением наибольшего количества результатов при наименьшей затрате. Если сумма делителей числа меньше числа, то в нем как бы оказывается непроизводительный избыток. Если наоборот, число оказывается меньше своих делителей, непроизводительный избыток является в последних.

Числа суть силы. Они правят миром. Но над силами могут подниматься еще силы. Надо полагать, что претензию на обладание такими силами стали предъявлять некоторые лица узурпаторски называвшие себя математиками и бывшие так сказать колдунами математического типа. У нас в XVII веке говорили: «богомерзостен всяк, любящий геометрию», хотя говоривший так обыкновенно аттестовал себя: «елинских борзостей не текох, риторских астрономов не читах»..., но утверждая это, он несколько заблуждался. Его отрицательное отношение к геометрии было несомненно «еллинской борзостью». Один из законов юстинианова кодекса имел заглавие. De maleficiis, mathematicis et caeteris similibus и говорил: Ars autem mathematica damnabilis interdicta est omnino. Так, византийское законодательство в VI в. причислило математиков к злодеям и совершенно воспретило предосудительное математическое искусство.

2

Мистическая математика видит в числе силу. Так рассматриваемое число само по себе является объектом метафизики и богословия. Но независимо от этого данные математики являются постоянным служебным орудием в практической жизни и во всех отраслях положительного знания. По отношению к каждому орудию, дающему благим образом чувствовать свою силу, естественно ставить вопрос: нельзя ли расширить сферу его применения? По отношению к математике этот вопрос в сущности нечего было и ставить. Ее история есть история постоянного расширения сфер ее применения. На памяти пишущего эти строки были сделаны первые попытки применить математический анализ к химии, несколько ранее явилась попытка использовать его в психологии и около этого же времени им стали широко пользоваться в статистике. Но статистика ведает человеческую жизнь с ее моральной стороной. Математический анализ в статистике вторгнулся в сферу морали, охватил, значит, все существующее. Отсюда по-видимому следует, что должно ставить вопрос не о том – нужно ли пользоваться математикой для обсуждения метафизических и богословских проблем, а пожалуй о том – не дают ли математические науки основания для того, чтобы отвергнуть возможность обсуждения вопросов метафизики и богословия? Но так или иначе математические науки оказываются стоящими между философской истиной и человеком. Они или помогают постигнуть истину или выясняют невозможность ее постижения.

По мнению таких людей, как Паскаль, математика по-видимому может служить лестницей ведущей к небу все равно, как ветвь математики – геометрия послужила ключом для уразумения явлений происходящих на небе. С именем Паскаля связано создание теории вероятностей. В 1654 г. его друг кавалер де Мере предложил ему задачу: два игрока в кости, поставив равные ставки, повели игру на условии, что тот, кто первый сыграет определенное количество партий, положим А. получает всю ставку. Обстоятельства заставили их прервать игру, когда одному не хватало до выигрыша одной (выиграл А-1 партию), а другому – двух партий (выиграл А-2 партии). Спрашивается, как должно разделить между ними поставленную сумму? Паскаль решил так. Половина всей ставки бесспорно принадлежит первому, потому что, если второй даже выиграет следующую партию, права обоих на ставку окажутся равными. Что касается до второй половины ставки, то права на нее первого и второго игрока равны, так как у них равны шансы выигрыша и проигрыша по следующей партии. Поэтому первому игроку должны быть отданы ¾ ставки, второму – ¼. Эта задача послужила толчком для обсуждения проблем о вероятностях тех или иных предположений и утверждений. И Паскаль поставил иную задачу.

Человеческая мысль не может постичь бесконечного. Бог есть бесконечность. Анализируя это понятие, мысль запутывается в противоречиях. Бесконечность есть, число, определяющее или характеризующее величину. Всякое число есть чет или нечет, и всякое число через прибавление к нему единицы изменяется из четного в нечетное или наоборот. Бесконечность не изменяется через прибавление к ней какого бы то ни было конечного числа, как и от вычитания. Таким образом, бесконечность для нас непостижима, но в таком случае для нас непостижим и Бог. Как же решить вопрос – существует Он или не существует? Положим, нам предложили бы принять у чате в пари, одна сторона которого говорит, что Бога нет, другая, – что Он существует. Самое разумное, конечно, отказаться от пари, так как мы не знаем верного ответа, но, говорит Паскаль, делать ставку необходимо. «Не в нашей воле играть или не играть. На чем же вы остановитесь? Так как выбор сделать необходимо, то посмотрим, что представляет для вас меньше интереса: вы можете проиграть две вещи – истину и благо, и две вещи вам приходится ставить на карту, ваши разум и волю, ваше познание и ваше блаженство; природа же ваша должна избегать двух вещей: ошибки и бедствия. Раз выбирать необходимо, то ваш разум не потерпит ущерба ни при том, ни при другом выборе. Это бесспорно; ну, а ваше блаженство?

Взвесим выигрыш и проигрыш, ставя на то, что Бог есть. Возьмем два случая: если выиграете, вы выиграете все; если проиграете, то не потерпите ничего. Поэтому, не колеблясь, ставьте на то, что Он есть.

Отлично следует так поступать; но может быть, я делаю слишком большую ставку?

Посмотрим. Так как случайности выигрыша и потери одинаковы, то если бы вам представлялась возможность выиграть только две жизни за одну, то и тогда рискнуть этой одной не было бы неразумно. А если бы можно было выиграть три жизни, риск был бы еще уместнее (так как вы в необходимости играть), и вы поступили бы неблагоразумно, не рискнув своей жизнью ради выигрыша трех жизней в такой игре, где случайности и выигрыша и проигрыша одинаковы. Но есть вечная жизнь и вечное счастье. Поэтому было бы глупостью не поставить на карту конечного ради бесконечного, если б даже из бесконечного числа случайностей одна бы только была на нашей стороне, не говоря уже об игре при одинаковых шансах за и против. Выигрыш и риск здесь уравновешены. Везде, где дано бесконечное и нет бесконечно великого риска проигрыша против вероятности выигрыша, там нечего взвешивать, а нужно отдавать все. Таким образом, будучи принуждены играть, мы, желая сохранить свою жизнь вместо того, чтобы рискнуть ей ради выигрыша бесконечного – столь же возможного, как и проигрыш ничтожества – доказываем, что действуем вопреки рассудку.

Ни к чему не послужило бы возражение, будто рискуешь верным ради гадательного выигрыша и что бесконечное расстояние, отделяющее несомненность ставки от сомнительности выигрыша, равняется конечному благу, которое становится несомненно ради сомнительного бесконечного. Это не так. Всякий игрок рискует с уверенностью ради выигрыша, в котором не уверен, и тем не менее он несомненно рискует конечным для сомнительного выигрыша конечного же, нисколько не погрешая этим против рассудка. Ложно думать, что между этой уверенностью в ставке и неуверенностью в выигрыше расстояние бесконечно. В действительности же бесконечность есть только между несомненностью потери. Но сомнительность выигрыша пропорциональна несомненности ставки, как это вытекает из отношения случайностей выигрыша и потери. Отсюда выходит, что если случайностей с одной стороны столько же, сколько и с другой, то идет партия равная против равной, и тогда уверенность в ставке равняется неуверенности в выигрыше. Таким образом, наше предложение бесконечно сильно, когда рисковать приходится в бесконечном в игре, где случайности выигрыша и проигрыша одинаковы и выигрышем может быть бесконечное. Это доказывается само собой, если люди способны понимать какие-нибудь истины, это одна из них. Математически пари Паскаля можно выразить таким образом. Если за бытие Божие имеется один шанс и в случае выигрыша получается блаженство, то за Бога мы имеем 1×∞; если против бытия Божия мы имеем очень много шансов А и в случае, если Его нет, воспользуемся очень многими земными благами В, то против Бога мы будем иметь А×В. Очевидно, что 1×∞ ˃ А×В.

Математик А.А. Марков несомненно по поводу этого regle des partis Паскаля приводит в своем курсе «Исчисление вероятностей» (третье издание. 1913. стр. 225) рассуждение Лапласа в статье De la probabilité des temoignages, помещенной во введении к его классическому труду Theorie analytique des probabilités. «Тот, кто обещает за доверие к своим утверждениям награду, а за недоверие наказание, не увеличивает таким обещанием, а уменьшает степень доверия к себе; если же размер обещания становится безграничным то степень доверия, какого они заслуживают, падает до нуля»

Так теория вероятностей дает Паскалю доказательство бытия Божия, а Лапласу – доказательство небытия Божия. Из этого многие хотят сделать вывод, что исчисление вероятностей в вопросе о Боге аннулируется, потому что из него извлекают доводы и pro и contra. Но нужно ли спешить соглашаться с таким взглядом? Из одних и тех же фактов черпают доводы в защиту движения и неподвижности земли. Отсюда не следует равноценность и следовательно взаимноуничтожительность этих доводов. Доводы Паскаля и Лапласа не могут быть аннулированы уже потому, что несомненно они имели убедительную силу в глазах многих лиц. Сущность довода Паскаля резюмирована им в такой простой форме: «если мы ошибаемся, считая христианство истиной, мы теряем очень немногое, но какое несчастье, если мы ошибаемся, считая его ложью!» Эти слова Паскаля на протяжении почти трех столетий заставляли задумываться многих. С другой стороны и соображения Лапласа не остались медью звенящей. Слова А. А. Маркова, «что к рассказам о невероятных событиях, будто бы происшедших в давно минувшее время, следует относиться с крайним сомнением» (225) по-видимому навеяны математической философией знаменитого творца системы мира.

И трудно воздержаться от того, чтобы не применять принципов теории вероятностей к вопросам самого высшего порядка и характера. Существует ли высший Разум, т. е. Бог? Наш разум ясно говорит нам, что разум выше нашего возможен. Из сопоставления принципов современной науки с теорией вероятностей с неотразимой убедительностью следует, что, если он возможен, то он действителен. По-видимому умозаключение это не из тех, которые одобряются логикой. A posse ad esse non valet consequentia. Но теория вероятностей говорит нам: в данном случае valet.

Процесс мировой жизни имеет за собой бесконечное прошлое, и потому в нем должны были осуществиться все возможности. Сущность телеологического доказательства бытия Божия нередко формулировали в словах Цицерона, который говорил, что случай точно так же не мог образовать благоустроенного мира, как из на удачу брошенных букв он не мог образовать летописей Энния. Против этого рассуждения выдвигают принципы вероятности и эволюции. Если бросить на удачу буквы, из которых состоят летописи Энния, то совершенно безрассудно ожидать, что они сложатся в стройные ряды, в которые их некогда уложила мысль Энния. Это верно, но если ежечасно бросать эти буквы в течение нескольких миллионов лет то, ведь, тогда в ряду тех комбинаций, в которые будут вступать эти буквы, должна непременно оказаться и Эннеева и при том даже без тех описок, которые допустил автор, и без тех корректурных ошибок, которые допускаются обыкновенно типографиями. Эмпедокл сказал: в природе сохраняется только целесообразное. В природе возникают всевозможные комбинации, но естественный отбор, – говорят теперь, – сохраняет формы и существа приспособленные к среде. Разум, раз явившись, цепко хватается за жизнь и стремится и сохраниться и умножиться. Но конечно не на земле и не в лице человека впервые засветился этот разум во вселенной. Триллионы и квадриллионы веков назад он должен был существовать. Этот разум, конечно, должен был делать то, к чему теперь стремится разум человеческий – препобеждать природу и подчинять ее себе. И он имел у себя совершенно достаточно времени для того, чтобы достигнуть каких угодно целей в этом направлении. Зачем нам мечтать о Uebermensch’e? Миллионы веков тому назад он уже существовал во вселенной. Уоллэс почти такой же творец дарвинизма, как и сам Дарвин, развивая дарвинистическую теорию до ее последних логических выводов, приходит к заключению, что существует невидимый духовный мир и что этот невидимый духовный мир был тем Провидением, которое путем постепенного развития произвело человека от животных типов и теперь ведет его по пути развития и усовершенствования. Теоретические соображения и факты привели Уоллэса к такому воззрению. Если за биллионы веков до возникновения земли процесс эволюции совершался во вселенной, то ясно, что за биллионы веков до существования человека должны были быть существа обладающие разумом в неизмеримо высшей степени, чем культурнейший человек XX века. Конечно, эти существа давно должны были найти средства для свободного перемещения в междупланетных пространствах. Мир этих существ Уоллэс представляет невидимым. И как этот мир, так и этот признак у этого мира должны признать эволюционисты, если пожелают быть логичными. Те знания, которыми мы располагаем, ясно раскрывают нам, что при больших знаниях, и мы могли бы становиться невидимыми, когда бы захотели. Таким образом, существа высшего типа, находя ненужным и неполезным для нас открывать себя нам, могут неуловимо и незримо вмешиваться в нашу жизнь и содействовать нашему благу. По мнению Уоллэса, факты и доказывают, что человек не мог произойти от животных исключительно путем естественного подбора, и поэтому должно признать, что высшие существа сознательно, разумно и постепенно преобразовывали физическую и духовную организацию животных для того, чтобы произвести человека. Русские переводчики книги Уоллэса энергично отрицают участие разума в деле происхождения человека. Не будем с ними спорить об этом, но думаем, что с их точки зрения должно быть признано бесспорным следующее. Представим себе возможно совершенный разум, возможно совершенное знание наилучших целей и средств, возможно совершенное знание мира. С эволюционной точки зрения такой разум необходимо существует. На самом деле, ведь разум, как и материя, эволюционирует от вечности, и следовательно, как бы далеко мы мысленно ни отодвигались в прошлое – на биллионы и триллионы веков, – мы неизбежно должны мыслить, что совершенный разум уже существовал в то отдаленное время. А между этим разумом и человеком эволюционный процесс должен был создать бесчисленное количество существ по своему разуму выше человека и ниже высшего разума. Продуктом эволюции должен явиться высший разумный мир, но так как эволюционный процесс существовал от вечности, то, следовательно, высший духовный мир существовал всегда.

Всегда существовал и Высший Разум, как предельный из всех возможных разумов.

Приложение математического анализа к принятым принципам и установленным фактам дало возможность многим физикам утверждать как научно доказанную истину, что Высший Разум есть не только устроитель и организатор, но и творец мира.

Существует в естествознании закон сохранения энергии. Эмпирически закон этот очень понятен. Им утверждается, что количество веса, количество теплоты, света во всей вселенной остается неизменным, что если известное количество теплоты превратится в движение, то потом движение опять перейдет или по крайней мере может перейти в тоже количество теплоты. За единицу теплоты принимается то ее количество, которое повышает температуру одного килограмма дистиллированной воды с 0° до 1° по С. (большая калория). Это количество теплоты, если оно будет преобразовано в работу, может поднять 424 килограмма какого-либо вещества на высоту 1-го метра. Величина 424 килограмма и называется механическим эквивалентом теплоты, так как показывает, в какое количество механической работы превращается единица теплоты (с непогрешимой точностью величина механического эквивалента не установлена). Наоборот, количество теплоты, развивающееся вследствие падения 1 килограмма с высоты 1-го метра (равное 1/424 количества теплоты нужного для повышения температуры 1-го килограмма воды с 0° на 1° по С.), называется термическим эквивалентом работы. Эта неизменяемость отношений между силами, этот факт, что превращения энергии не изменяют ее количества, что при этих превращениях ничто не тратится и не пропадает, что, придя в свое первоначальное состояние, энергия окажется существующей в том же количестве, в каком и была изначала, этот факт и носит имя сохранения энергии. Он очень понятен и раньше, чем он был формулирован, он в действительности уже предполагался в положительных науках; из его молчаливого предположения выходили физики и механики в своих работах, он был и будет всегда необходимым постулатом естествознания. Но с философской точки зрения он заключает в себе много неясного и неопределенного. Пока им утверждается, что количество движения, присущее телам, остается неизменным, он ясен; но когда им утверждается, что и количество веса в природе тоже неизменно, он странен. Тело, перенесенное с полюса на экватор, весит в последнем месте менее. Нам скажут, что это не изменяет дела, и что вес земли остается неизменным. Но если землю удалить от солнца или приблизить к нему, то и ее вес изменится. Нам скажут, что вес солнечной системы останется неизменным. Но мы можем представить себе и солнечную систему поставленную в иные условия и вследствие этого ставшей или легче или тяжелее. Мы имеем основания таким образом утверждать, что мы можем перестроить всю вселенную так, что вес ее изменится. Есть одно объяснение закона тяготения, по которому сначала в природе не было вовсе веса и он явился впоследствии. Но если понятие веса оказывается неустойчивым, то тогда и все дальнейшее учение о сохранении энергии теряет свою определенность. За всем тем учение о сохранении энергии в научном миропонимании оказывается совершенно необходимым. К нему присоединяется еще учение об энтропии. Каждому телу присуще некоторое количество энергии, но не все это количество может быть измерено и не все может быть обращено в работу. Энергия, находящаяся в теле, может быть извлечена из него лишь в том случае, если тело будет введено в сферу, в которой тела обладают меньшей энергией, чем оно. Вода, имеющая 15° температуры и находящаяся в комнате, в которой все имеет эту температуру, не отдает своей энергии окружающим предметам, но будучи перенесена на воздух, где температура приближается к 5° холода, сейчас же начнет остывать, затем обращается в лед и в конце концов принимает температуру окружающей среды. Без сомнения, не только эта среда понизила температуру воды, но и сама повысила свою собственную, только на бесконечно малую величину, ускользающую от измерения. Этот закон передачи энергии требует некоторого разъяснения: тело, передающее свою энергию другим, обладает не большим количеством энергии, чем другие, но, так сказать, большей напряженностью энергии. Если энергию рассматривать, как количество движения частиц, то это можно разъяснить так: в маленьком железном шаре, имеющем температуру в 100° тепла и погруженном в большое количество воды, имеющей температуру в 50°, очень немного частиц, но эти частицы имеют очень быстрое движение, в окружающей его воде число частиц очень значительно, но он имеет сравнительно медленное движение. Если мы сложим все движения частиц воды, то окажется, что вторая сумма больше первой; однако не вода будет отдавать избыток своей энергии железу, а железо воде. Закон передачи энергии, следовательно, состоит в том, что скорость движения молекулярных частиц в телах стремится уравновеситься. Существование разности в этих скоростях и обусловливает все явления в мире. Для того, чтобы в мире происходили какие бы то ни было явления, нужно, чтобы в мире существовали тела со свободной энергией, т.е. такие, скорость частиц в которых больше, чем в окружающих. Процесс передачи этими телами избытка своей энергии другим телам и есть процесс мировой жизни. Но тела могут отдавать только избыток энергии, за этим избытком находится еще некоторое количество энергии, которое никак нельзя извлечь из тела. Это – энергия несвободная. Ее называют энтропией (такое значение этому термину дал Клазиус, в Англии по предложению Тэта, энтропией, напротив, называют свободную энергию). Клазиус сказал, что энергия вселенной постоянна, но энтропия ее непрестанно стремится увеличиваться. На самом деле, энергия вселенной стремится распределиться равномерно, стремится, значит, распределиться так, чтобы в одних телах не было избытка энергии сравнительно с другими, чтобы, следовательно, исчезала свободная энергия. Так, тела, взаимно тяготеющие, стремятся сблизиться между собой и упасть одно на другое; силы, сопротивляющиеся движению, превращая энергию переносного движения в теплоту, уменьшают центробежную силу их около центральных движений и дают тем перевес силам тяготения; неравные упругости стремятся уравняться; неравно нагретые тела, сообщающиеся между собой посредством проводимости или посредством лучей, стремятся привести свои температуры в равновесие. Вся совокупность этих действий направлена к тому, чтобы 1) сблизить между собой взаимно тяготеющие тела, 2) уравновесить во всей вселенной упругости и 3) уравнять в ней температуры. Когда это состояние наступит, то энергия вселенной сохранит при этом свою начальную величину, но только равномерно рассеется в системе или, говоря иначе, вся перейдет в энтропию. Это будет концом вселенной, в ней прекратятся все изменения, вызывавшиеся ранее превращениями энергии (стремление к этому концу, к установлению абсолютных равновесий можно назвать стремлением к покою. Поэтому мы признаем, что формула древних: все тела стремятся к покою, в сущности справедлива). Если бы вселенная мыслилась бесконечной, то тогда можно было бы сказать, что такое рассеяние энергии (dissipation of energy) произойдет через бесконечное число лет или – что тоже – никогда не произойдет, но как показали мы выше – вселенная должна быть мыслима конечной, значит, рано или поздно равномерное распределение энергии в ней произойдет, и ее жизнь кончится.

Но если вселенную ожидает конец, то значить, она имела начало. Разум, устроивший ее, должен предварить ее в бытии и не быть связанным с ней цепью необходимости, иначе и он оказался бы вовлеченным в конечный процесс, и для него и для мира нужно бы было искать новую причину. Этот вывод настолько бесспорен и ясен, что многие физики ввели его в свои курсы. Пытаются ослабить значение этого вывода рассуждением о бесконечности вселенной и, следовательно, бесконечности мирового процесса. Это рассуждение не может помочь намечаемой им задаче. Нет нужды в данном случае ставить вопрос о бесконечности или конечности мира. Вопрос можно поставить просто и бесспорно. Наука не может мыслить мира под формой неопределенного уравнения. Комплекс явлений настоящего момента она мыслит как определенную функцию того, что ему предшествовало. Во вселенной имеются пункты максимума энергии и минимума энергии. Энергия должна направиться от пункта maximum’a к пункту minimum’a. Отсюда вытекает, что в каждый последующий момент максимальный предел энергии во вселенной понижается. Интенсивность жизни ослабевает в мире с каждым моментом. Процесс мировой жизни есть процесс умирания. Если мы обозначим различные напряжения энергии во вселенной через р, q, r, s, t..., а количество этих энергий через А, В, С, D, Е, то получим, что энергия во вселенной стремится распространиться везде с напряжением равным Ар + Bq + Сr + Ds + Et +…,      разделенным на число членов. Это число равно бесконечности. Делимое также равно бесконечности. Но что делать. Алгебра наставляет нас, что в данном случае от деления бесконечности на бесконечность должно получиться конечное число. Если maximum энергии в данный момент = р, a minimum = s, и искомое число мы обозначим через х то будем иметь р ) х ) s. Мир стремится к определенному предельному состоянию, которое мы обозначили через х. Это предельное состояние есть смерть. Приближение к нему есть умирание. Жизнь мира есть умирание. Такой признак устраняет возможность мысли о вечности, а следовательно, безначальности и самобытности мира.

В этом рассуждении о происхождении мира через творение, как в рассуждениях предыдущих, математика привлекается для анализа фактов, но и сами данные математики можно делать предметом анализа и посредством их исследования получать философские выводы.

Учение Канта об априорных формах чувственности и категориях рассудка имеет в своей основе преувеличенное доверие к аксиомам математики, роковым образом влекущее за собой неверие в наши познавательные способности. Его математические антиномии, хотя он и хочет представить их кажущимися противоречиями, на самом деле у него оказываются противоречиями действительными. Вот его рассуждение.

«Первое столкновение трансцендентальных идей.

Тезис.

Мир имеет начало во времени и по пространству заключен в границах.

Доказательство.

Пусть допустят, что мир не имеет начала по времени, тогда должно принять, что каждому данному моменту предшествовала вечность и вместе с тем предшествовал бесконечный ряд следовавших одно за другим состояний вещей в мире. Но бесконечность ряда состоять в том, что он никогда не может быть осуществлен через последовательный синтез. Таким образом, бесконечно протекший ряд мировых явлений невозможен; следовательно, начало мира есть (во времени) необходимое условие его существования, что прежде всего и требовалось доказать.

По отношению ко второму пусть допустят опять противоположное; получится, что мир есть бесконечное целое совместно существующих вещей. Но величину какого-либо количества (Quanti), неданного в известных границах каждого созерцания³, мы можем мыслить только через синтез его частей и целость такого количества мы можем мыслить только через законченный синтез или через повторение присоединения единицы к себе самой⁴. Поэтому, чтобы мыслить мир, наполняющий все пространства как целое, нужно рассматривать последовательный синтез частей некоего бесконечного мира как законченный, т. е. нужно рассматривать, что прошло некоторое бесконечное время при перечислении всех сосуществующих вещей; что невозможно. Поэтому бесконечный агрегат действительных вещей не может быть рассматриваем как данное целое и как данное совместно. Следовательно мир не бесконечен по пространству, а заключен в границы, что требовалось доказать во вторых.

Антитезис.

Мир не имеет никакого начала и никаких границ в пространстве, но он бесконечен как по пространству, так и по времени.

Доказательство.

Пусть предположат, что он имеет начало. Так как начало есть существование, которому предшествует некоторое время несуществования вещи, то должно было протечь некоторое время, когда мира не было, т. е. пустое время. Но в пустом времени невозможно происхождение никакой вещи, так как никакая часть такого времени не имеет в себе сравнительно с другой частью отличительного условия бытия от времени небытия (представят ли, что оно возникает само собой или от другой причины). Таким образом, хотя в мире может иметь начало какой-либо ряд вещей, сам мир не может иметь никакого начала и таким образом, в прошедшем он бесконечен.

Относительно второго пусть также наперед допустят противоположное, именно, что мир конечен и ограничен по пространству, таким образом он находится в некотором пустом пространстве, которое не ограничено. Однако такое допущение было бы не предположением о взаимоотношении в пространстве, а предположением об отношении вещей к пространству. Но так как мир есть абсолютное целое, вне которого не может быть никакого предмета созерцания и никакого коррелата миpa, с каковым коррелатом он стоял бы в отношении, то это отношение мира к пустому пространству было бы отношением его к никакому предмету. Но такое отношение, т.е. ограничение мира пустым пространством есть ничто. Следовательно, мир не ограничен, т. е. бесконечен по протяжению»⁵.

Такова первая математическая антиномия Канта. Вторая подобна ей.

«Второе столкновение трансцендентальных идей.

Тезис.

Всякая сложная субстанция в мире состоит из простых частей и повсюду существует лишь простое или составленное из простого.

Доказательство.

При допущении, что сложные субстанции состоят не из простых вещей, получалось бы, если уничтожить всякую сложность в мысли, что нет никакой сложной части и нет и простой (так как никаких простых частей нет), следовательно не остается ничего и не оказывается данной никакой субстанции. Отсюда или нельзя уничтожить в мысли всякую сложность или по уничтожении ее должно остаться нечто без всякой сложности, т. е. простое. В первом случае сложность состояла бы не из субстанции (так как сложность при этом есть только случайное отношение субстанций, без какового отношения они могли бы существовать как устойчивые сущности). Так как этот случай противоречить предположению, то остается только второй именно, что субстанционально сложное в мире состоит из простого.

Отсюда непосредственно следует, что все мировые вещи суть простые сущности, что сложность есть только их внешнее состояние и что если мы и не можем никогда вполне извлечь или изолировать элементарные субстанции из этого состояния связи, однако разум должен мыслить их как первые основания всякой сложности, а до соединения как простые существа.

Антитезис.

Никакая сложная вещь в мире не состоит из простых частей и вообще в нем не существует ничего простого.

Доказательство.

Пусть будет допущено, что сложная вещь (как субстанция) состоит из простых частей. Так как всякое внешнее отношение, отсюда и отношение сложности из субстанций возможно только в пространстве, то должно быть, что из скольких частей состоит сложность, из стольких же должно состоять заключающее его в себе пространство. Но пространство состоит не из простых частей, а из пространств. Тогда должна каждая часть сложной вещи занимать некоторое пространство. Первоэлементы всякой сложной вещи, безусловно просты. Таким образом, получается, что нечто простое занимает пространство. Теперь все действительное, занимающее какое-либо пространство, заключает в себе находящееся одно вне другого многообразие, следовательно составлено и именно как действительно сложное не из акциденций (поскольку они без субстанции не могут быть одна вне другой), а из субстанций; получается: простое есть субстанционально сложное, а это заключает в себе внутреннее противоречие.

Второе положение антитезиса, что в мире не существует ничего простого должно здесь значить, что бытие простого не может быть дано никаким внешним или внутренним опытом или восприятием, и простое оказывается только идеей недоступной никакому возможному опыту и потому в истолковании явлений остающейся без приложения и предмета. Так как если бы мы пожелали принять, что для этой трансцендентальной идеи можно найти предмет в опыте, то действительное восприятие такового предмета должно бы быть познано, как не содержащее в себе никакого многообразия, связанного в единство из находящихся один вне другого элементов. А так как из несознания такого разнообразия нельзя делать вывода о совершенной невозможности его в созерцании какого-либо объекта, а это последнее необходимо для его абсолютной простоты, то следует, что это не может быть выведено ни из какого восприятия. Так как ничто как совершенно простой объект не дано ни в каком возможном опыте, – а чувственный мир должен быть рассматриваем, как понятие (Inbegriff), включающее в себя мысль о всяком возможном опыте, то следовательно, вообще в нем не дано ничего простого.

Это второе положение антитезиса идет много далее, чем первое, которым простое устраняется только из созерцания сложного, между тем как вторым оно изгоняется из всей природы, по причине чего оно может быть выводимо не из понятия предмета внешнего восприятия, а из отношения его вообще к возможному опыту⁶.

Нельзя сказать, чтобы Кант своими примечаниями, разъяснениями, толкованиями, даже своей теорией априорности пространства и времени нашел выход из своих антиномий. Пусть мир для нас не есть данное, а есть задание, есть, так сказать, уравнение. Его можно выразить в такой форме:

Axⁿ + Bx^n–1 + Сх^n–2+ ...+Px² + Qx + R = 0.

Такое уравнение с нашей точки зрения имеет n корней и не может иметь их более. Но по Канту оказывается, что если подойти к этому уравнению с одной стороны, то оно имеет n решений вещественных, а если подойти с другой стороны, то имеет n решений мнимых. Такое задание не есть загадка сфинкса, а нечто подобное четырехстороннему треугольнику, т. е. нечто такое, чего нельзя уразуметь ни в какой степени и к чему, следовательно, нельзя приспособиться.

Но если у Канта априорность математических начал приводит к роковым гносеологическим выводам, то, наоборот, у Кантора эта априорность расширяет границы бытия и открывает двери в область высших сфер. Кантор дал учение о трансфинитных числах, т.е. о числах, находящихся за границами конечного. Простое рассуждение может дать понятие об этих числах. Основание естественных логарифмов е, о котором уже была речь, выражается через своего показателя таким образом:

до беcконечности.

Из этого ряда следует, что

отсюда

При увеличении х отношение будет возрастать; при х = ∞, оно также станет равно бесконечности. Но нетрудно показать, что существует множество функций, который возрастают быстрее, чем е^х. Таковы _ex², _ee^x, _ee^x2; варьируя типы показателей, можно получить какие угодно высокие степени возрастания. Функции так образованные могут быть предметом изучения и исследования. Их свойства, взаимоотношения поддаются анализу и определению. Пусть порой окажется, что существуют трансфинитные порядковые числа, которые и не равны между и из которых ни одно ни больше, ни меньше другого. Что делать? Это аналогично в обычной алгебре взаимоотношению вещественных и комплексных величин. Но канторовская теория трансфинитных чисел для метафизика и теолога может быть дорога тем, что она как бы дает представление о многих обителях небесного Отца, о которых говорил Христос в прощальной беседе с учениками (Ин.14:2). И все эти трансфинитные числа направляют мысль к абсолютно бесконечному числу, которое соответствует единой абсолютной реальности.

Но вот – новое время выдвинуло новые вопросы по отношению к математике. Я формулировал бы общее содержание этих вопросов так: имеют ли всеобщую значимость математические формулы и теоремы? Если математические принципы прирождены нашему духу и все содержание математики есть развитие этих принципов по законам нам прирожденной логики, тогда в сети наших формул мы должны уловлять всю вселенную, и бытие несогласное с этими формулами для нас недопустимо. Но вот – новые теории говорят нам: основоположения математики выведены из ограниченного опыта и не только ко всему универсу их нельзя прилагать, но рискованно распространять их и вообще на величины значительно превосходящие, те, которые были получены в опыте.

Лаппаран о происхождении геометрических аксиом рассуждает так.

«Прежде всего, у нас существует, в силу собственно нашей организации, очень ясное чувство направления, следуя которому мы осуществим наименьшее усилие движения при пробеге. Для этого нужно, чтобы наш взгляд не покидал ни на одну минуту определенную часть достигаемого предмета, на столько малую, что ее поверхность кажется не заслуживающей внимания и сводится на практике к тому, что мы называем точкой. Она будет, как говорят по военной теории, точкой направления; верный инстинкт нам подсказывает, что, если это условие постоянного прицела (devisée cinstapté) выполнено, и наши глаза не совершали никакого иного движения ни справа налево, ни сверху вниз, то мечта о минимальном усилии будет осуществлена.

Природа дает нам, за исключением твердости, представление об этом идеальном пути в спокойной поверхности воды, где верно направленный челнок позволяет следовать по желанной траектории, с другой стороны, нет особенно ощутительной разницы между этой совершенной водяной плоскостью и поверхностью больших равнин с постоянным уровнем, которые так часто расстилаются на берегах морей или озер. Таким образом, следуя этим путем в указанных условиях, мы приходим к мысли о плоскости, поверхности, лишенной неровностей и кривизны, где работа, нужная для ходьбы, сводится единственно к усилию перемещения, требуемого расстоянием, без всякого вмешательства тяжести, так как здесь не существуете ни подъема, ни спуска.

Если в двух точках подобной гладкой равнины укрепить два столба и за нижние концы привязать веревку, сильно натянутую, то мы увидим, что на всем своем протяжении эта веревка будет прислонена к земле, несмотря на то, какое положение занимает второй столб по отношению к первому. Наконец, мы без труда убедимся, что для того, чтобы пройти кратчайшим путем от одной точки равнины до другой, нужно твердо следовать натянутой веревке, потому что, т. обр., придется сделать наименьшее количество шагов, и потребуется наименьшее количество веревки, чтобы установить связь между крайними точками.

Теперь идеализируем эти различные понятия. Сделаем так, что оба столба – отправления и прибытия касаются поверхности в столь малом пункте, что было бы невозможным определить его размеры глазом; в пределе это неразличимое пространство (cette aire) обратится в геометрическую точку. Уменьшим также толщину веревки до того, что ее уже нельзя будет измерить, и предположим, что благодаря своей нематериальности, веревка, сокращенная до такой степени, не будет считаться с кривизной, зависящей от силы тяжести каждой натянутой нити. В пределе мы получим абстракцию, называемую прямой линией. Мы ясно увидим, что от одной точки до другой мы можем представить только одно воплощение этого идеала; оно несомненно указывает кратчайшее расстояние между двумя точками; таким образом и будут положены при посредстве этих абстрактных, но всегда выведенных из опыта, понятий, основные аксиомы планиметрии.

Далее, когда веревка, протянутая по всему протяжению равнины, предположенной совершенно плоской, прилегает к ней во всех точках, то мы узнаем способ образования этой поверхности, реализирующей максимум простоты посредством прямой, непрерывно опирающейся на две другие совпадающие. Таким же образом мы видим, что прямая деревянная палка, брошенная на спокойную поверхность воды, будет прикасаться к ней всей своей длиной, куда бы мы ее ни направляли.

Впрочем, есть и другие виды наблюдений, на основании которых можно составить очень ясные представления о прямой линии. Одни из них сами бросаются в глаза, как например, луч света, проникающий через узкое отверстие ставни в пыльную атмосферу темного места и начертывающий блестящим образом кратчайший путь между своими двумя концами, или же камень, бросаемый с верха башни, или же веревка, поддерживающая груз.

Другие представления требуют несколько больших усилий, чтобы их ясно понять, но зато они дадут нам более точное геометрическое понятие. Так, когда мы сообщим твердому телу круговращательное движение, укрепив две его точки между пальцами, причем тело будет достаточно упруго и не будет изменять свою форму при движении, то мы скоро увидим, что линия, проходящая от одного пальца к другому, не участвует в движении. Если же между этими двумя точками можно было бы ввести прямую упругую иглу, то тело будет продолжать вращаться около этой оси, которая, напротив, остается неподвижной. Идеализируя это понятие, мы определим прямую линию, как место неподвижных точек в неизменяющемся твердом теле, подвергнутом вращению. Наконец, когда у нас будет инструмент, с помощью которого мы будем в состоянии провести черту наиболее близкую к идеальной прямой, инструмент, называемый линейкой, то совершенство этой черты будет доказано, если при передвижении линейки вокруг ее ребра, мы будем получать все ту же черту. Здесь концепция оси вращения является для нас тождественной с концепцией о кратчайшем расстоянии между двумя точками.

Таким образом, опыт всегда является нашим путеводителем в определении отвлеченных понятий пространства. Впрочем, роль наблюдения не ограничивается тем, что представляет субстрат, из которого исходят геометрические понятия при посредстве простой идеализации. Мы встретимся еще с наблюдением, как с основой большого числа теорем, которые устанавливают взаимные отношения полученных таким образом абстракций.

Например, что значат те доказательства, при которых, чтобы увериться в равенстве двух плоских фигур, имеющих некоторые тождественные элементы, эти фигуры налагают одну на другую, предполагая, что равные элементы совпадут? Не покажется ли это доказательство бессмысленным, если его прилагать исключительно к абстракциям? Нельзя переносить вещь, не имеющую реального существования. Очевидно, примененное умозрение пользуется санкцией опыта, которая будет состоять в представлении двух материальных фигур, удовлетворяющих указанным условиям, и в удостоверение того, что они точно накладываются друг на друга.

Правда, абсолютное удостоверение невыполнимо. Перенесенная фигура рискует изменить форму и вещество, ее составляющее, не неизменно. Тяжесть, теплота, влажность могут изменить его размеры, а также подействовать в различной мере на саму сравниваемую фигуру. Какую бы точность ни стремились дать конструкции, равенство элементов, признанных за тождественные, может существовать в действительности только в пределах дозволенных несовершенством инструментов. Наконец, для материальных предметов наложение соответствующих элементов всегда будет давать место некоторой неточности, тем более заметной, чем тоньше будут средства, употребляемые для его подтверждения.

Но понятно, что с подходящим веществом и при хорошо устроенных приборах можно получать все более и более полное совпадение, и мы имеем полное право думать, что в пределе, т. е. в условиях, при которых неприменим реальный опыт, и при которых фигура становится абстракцией, это совпадение не оставляет больше ни малейшей неправильности.

Однако ж, мы повторяем, что доказательство кажется лишенным смысла, если оно не опирается на возможность материальной проверки, и тот же факт может быть доказать другими умозрениями, употребляемыми в геометрии. Всюду найдем мы эту опору опыта, который нами руководит при наших абстракциях и выводит из них, при посредстве чувства порядка и понятия об идеале, заключения, которые внушают уважение всем разумным людям.

Это не все. К указанным основным понятиям присоединяется по самому устройству нашего ума понятие о бесконечности. Опыт научил нас, что при помощи вех, следующих в строгом порядке одна за другой, мы можем продолжить прямую линию, проведенную между двумя точками, так далеко, как мы того желаем. Вследствие внутреннего стремления, столь же естественного как и то, что внушено нам идеей порядка, мы допускаем, что эта способность продолжаться беспредельна. Прямая линия, а вместе с ней и плоскость, произведенная ее движением кажутся нам, таким образом, способными продолжаться до бесконечности.⁷

Но предложенная теория происхождения представления прямой линии дает ли право настаивать на реальности ее свойства простираться в бесконечность?

Во 1) нужно доказать, что при вращении тела около двух точек остается неподвижной линия, соединяющая эти точки. Возможно предположение, что остается неподвижной некоторая часть тела или наоборот, что кроме двух точек все тело приходит в движение. У вращающегося тела различные точки двигаются с различными скоростями. Легко найти точки, обладающие maximum'ом вращения, но есть ли линия, вращательная скорость которой равна нулю? Может быть этот признак принадлежит элементу тела или совсем не принадлежит линии. Не доказана возможность существования неподвижной линии в теле двигающемся около точек, как не доказано еще более, что если она существует, то только одна, а не целое тело. Во 2) не доказано, что такая линия, если она существует и только одна, есть кратчайшая. Таким образом, против приведенного геометрического определения могут возразить: может быть такая линия есть contradictio in adjectо и может быть, если она и существует, она не кратчайшая. В курсах геометрии, которые стремятся к строгости доказательств (из русских элементарных курсов таким нам представляется геометрия Давидова, совершенно противоположна ей геометрия Малинина), можно заметить тенденцию отодвигать, как можно дальше рассуждение о параллельных линиях, и стараться как можно больше геометрических пoлoжeний утвердить независимо от теории параллелей. Тенденция эта понятна. Авторам хочется доказать как можно больше положений независимо от теории, одно из основоположений которой по общему сознанию не очевидно и не доказано. Но анализ вскрывает нам, что и возможность прямой линии с теми свойствами, которые ей обычно приписывают геометры, не очевидна и не доказана. Прямая линия наших геометрий есть абстракция от опыта. То, что идея ее не прирождена нашему духу, доказывается, что, не впадая в противоречие с логикой и опытом, можно отрицать обычно приписываемые ей свойства и наделять ее другими. По Эвклиду прямая линия вполне определяется двумя точками. Но из изложенного видно, что вполне можно оспаривать это положение.

Но пунктом, где непосредственно очевидна неочевидность и нестрогая обоснованность теории, является XI поступать Эвклида.

Если мы имеем две прямые, находящиеся в одной плоскости, из каковых прямых одна перпендикулярна третьей, а другая не перпендикулярна, то он при продолжении пересекутся. Опыт всегда подтверждал, как это положение, так и все следующие из него выводы. Но дело в том, что опыт всегда бы подтверждал все это, если бы этот постулат и был ошибочным по отношению к некоторым случаям. Наш постулат проверен опытно по отношению ко всем углам, под которыми прямая пересекает другую, начиная с нуля и доходя до 89° с минутами и сотыми долями секунды. Но все-таки между тем предельным углом, для которого он был проверен, и углом 90°, остается еще бесконечное число углов. Мы можем допустить, что если одна прямая пересекает другую под углом в 90°, а другая под углом в 89°, 99999999....8, то эти прямые никогда не пересекутся. Раз мы это допустим, все здание геометрии изменится. Тогда окажется, что геометрия Эвклида имеет лишь приблизительную точность, тогда окажется, что подобных фигур не существует в природе и что построение точной модели нашей вселенной невозможно. На самом деле вся теория подобных фигур и тел утверждается на той теореме, что сумма углов в каждом многоугольнике определяется числом его сторон (∑ = 2d. n – 4d), сумма углов треугольника равна двум прямым, сумма углов четырехугольника четырем прямым и т.д., и что в подобных телах соответственные углы равны. Но раз отвергнут постулат Эвклида, то тогда следует, что в каждой фигуре сумма углов есть величина изменяющаяся, определяемая не только числом сторон, но и их свойствами. Это может показаться парадоксальным, но возможную справедливость этой теории легко доказать опытом. Начертим на земле треугольник. Он представится прямолинейным, начерченным на плоскости, но на самом деле он сферический, он начерчен на поверхности земного шара, его стороны суть дуги большого круга, его сумма углов – как учит нас сферическая тригонометрия – непременно больше двух прямых, Сумма углов треугольника на поверхности вогнутой непременно меньше двух прямых. Но если эта вогнутость невелика, то наши измерения всегда дадут для треугольника 2d. Подойдем к спокойной поверхности реки или озера, она представится плоской, но на самом деле она сферическая. По-видимому, можно продолжать эту поверхность в бесконечность и она будет тянуться и тянуться, но на самом деле эта поверхность при продолжении замкнется сама в себе и даст сферу, она не может быть бесконечной. Дело вот в чем. Незначительная часть какой-либо очень большой линии и поверхности очень часто нам кажется имеющей не те свойства, какие имеет на самом деле. Незначительная часть большой окружности кажется прямой линией. Угол незначительно отличающийся от прямого принимается за прямой. Некоторые говорят, что опыт здесь не причем, что важно как мы мысленно представляем природу прямой линии, плоскости, сферы, псевдосферы. Но дело в том, что наше мысленное представление есть абстракция в сущности от очень незначительного опыта и может быть заключает в себе внутреннее противоречие. Какая, по-видимому, простая задача: найти число, которое, будучи помножено само на себя, равнялось бы двум. Число это больше 1⅓ и меньше 1½. Беря промежуточные дроби, мы все более и более подходим к числу 2, и можем естественно предполагать, что при продолжении работы число будет найдено. Но строгое доказательство говорите нам, что такого числа не существует, и мысль о нем заключает внутреннее противоречие.

Не заключает ли в себе внутреннего противоречия и созданная нами идея устремляющейся в бесконечность прямой? Нетрудно видеть, что отрицание классической теории прямой линии ставит крест над первой антиномией Канта и подсказывает мысль, что не природа вообще и не природа нашего разума, а свободное употребление нашего разума завело нас в дебри противоречий по вопросу о конечности или бесконечности мира.

Мир, построенный по Эвклиду, несмотря на свои бесконечные прямые и плоскости, оказывается слишком тесен. Но путем преодоления Эвклида иногда удобно можно объяснять явления и в Эвклидовом мире. Давно уже показано, что материю можно рассматривать как функцию притягивающей и отталкивающей силы. Представим себе, что к какой-либо математической точке приложены две силы: отталкивающая А и притягивающая В. Допустим далее, что сила отталкивания действует обратно пропорционально кубу расстояния; сила притяжения – обратно пропорциональна квадрату расстояния. Тогда взаимодействие сил выразится формулой:

пусть А ) В. Ясно, что в точке приложения будет преобладать отталкивание, но оно по мере удаления от этой точки или от этого центра будет сильнее убывать, чем сила протягивающая. На некотором расстоянии будет

Все, что будет дальше этого расстояния, будет притягиваться нашим центром; все, что будет пытаться проникнуть в сферу радиуса R, будет отталкиваться, и комбинация данных двух сил даст ощущение материальной сферы радиуса R. Это верно. Понятно, почему сила притяжения действует обратно пропорционально квадрату расстояния, потому что поверхности, на которые распространяется ее действие, растут как квадраты радиусов. На двойном расстоянии от центра поверхность, по которой распространится притягивающая сила, будет вчетверо больше, отсюда количество силы прилагаемой к каждому элементу должно стать вчетверо меньше. Но вот вопрос: почему можно допустить, что отталкивающая сила действует обратно пропорционально кубу расстояния? Не защищая изложенной теории материи, я однако думаю, что она может найти себе опору в теории четырехмерного пространства. Если к трем измерениям Эвклида прикинуть четвертое, то сила отталкивания должна будет действовать в четырехмерном пространстве и, следовательно, постоянно будет делиться на кубы, как сила притяжения – на квадраты. Так теория, предполагающая эмпирическое происхождение геометрии, оказывается, может содействовать истолкованию физического мира.

Всем вышеизложенным имелось ввиду разъяснить, как математика могла вторгаться в области философии и даже религии. Теперь должно перейти к рассмотрению того, как это было и есть. Древность, мы видели, стремилась обожествлять содержание математики; новое время склонялось к тому, чтобы в ее содержании видеть лишь пустую форму. Забвение взглядов древних есть потеря, неимение взглядов новых есть застой. Не нужно допускать потерь и не должно пребывать в застое.

С. Глаголев.