Родился в семье московского священника Андрея Георгиевича Беляева, клирика церкви Косьмы и Дамиана в Садовниках. С 1862 по 1868 год обучался в Московской Духовной семинарии, с 1868 по 1872 год являлся студентом Московской Духовной Академии. После окончания Академии А.А. Беляев был назначен преподавателем Всеобщей и Русской Церковной истории в Черниговскую Духовную семинарию. В 1873 году он назначается смотрителем Кинешемского Духовного училища. В 1875 году А.А. Беляев был назначен преподавателем Всеобщей и Русской Церковной истории Вифанской Духовной семинарии. В декабре того же года ему поручается преподавание также и немецкого языка.

В 1879 году вступил в брак с дочерью священника Ермолаевской в г. Москве церкви, протоиерея Сергия Сергеевича Модестова, Елисаветой. Имел двух дочерей и трех сыновей. Старшая дочь София была замужем за священномучеником Георгием Извековым (память его - 27 ноября; в 1937 г. расстрелян на Бутовском полигоне), известным духовным композитором.

В 1895/1896 учебном году А.А. Беляев временно преподавал Историю Русской Церкви в Московской Духовной Академии. Это было связано с тем, что проф. Е.Е. Голубинский вышел на пенсию, а избранный его преемником Сергей Иванович Смирнов, выпускник Вифанской семинарии, только что окончил Академию и был назначен профессорским стипендиатом, следовательно, не был еще готов возглавить кафедру и читать лекции.

В 1899 году Андрей Андреевич Беляев назначается ректором Вифанской Духовной Семинарии, принимает священство, возводится в сан протоиерея. После освобождения в 1908 году от должности ректора Вифанской семинарии о. Андрей был назначен настоятелем Троицкой на Грязех церкви в Москве.

Будучи настоятелем, он жил в приходском доходном доме — известном как «дом со зверями» (Чистопрудный бульвар д. 14) в бельэтаже. Когда в конце 1917 года большевики стали “уплотнять” квартиры, многие старались “уплотниться” родственниками и знакомыми. Известный адвокат Евгений Сергеевич Левашев был выгнан большевиками на улицу вместе с женой и детьми. Отец Андрей Беляев поселил семью своего друга в своей квартире. Кончина протоиерея Беляева последовала в 1918 году. На глазах Евгения Левашева отец Андрей умер с голоду, отдавая ближним последний кусок хлеба. Похоронен о. Андрей на Пятницком кладбище (14 участок).

Протоиерей Андрей Беляев известен как автор нескольких трудов о митрополите Платоне (Левшине) и об истории Вифанской семинарии. Протоиерей Андрей Беляев являлся также цензором изданий типографии Троице-Сергиевой Лавры.