Здравствуйте.
Конечно, можно подать записку о своем здравии: записка - просьба помолиться о Вас. А нужно ли? Это определять только Вам. Если считаете, что нужно, значит, нужно. Смелее!
Сорокоуст - это молитва на 40 литургиях - главных службах христиан. О литургии можно почитать здесь:
https://azbyka.ru/1/liturgiya
Уточню ответ Константина. 40 воскресений имеется в виду там, где литургии служат только по воскресеньям. В большинстве храмов все же литургии служат каждый день, кроме особых дней в Великий пост. В таких храмах Вас помянут в молитвах в течение сорока дней, независимо от дней недели.
Чем замечательна записка, поданная на литургию (сорокоуст в том числе), это вот этим:
https://azbyka.ru/proskomidiya
Выздоравливайте, Анна. Бог помощь.