Оглавление
Приложение
Начиная с XV века в Европе наряду с материализмом начал быстро распространяться рационализм — убеждение, что человеческий разум, если постарается, сможет понять и объяснить всё, происходящее во Вселенной. Под разумом понималась наша способность к дискурсивному (строго научному) рассуждению. Базовым языком дискурса считалась логика плюс арифметические операции с натуральными числами. На этом фундаменте, как думали учёные, зиждутся и те дисциплины, которые занимаются отрицательными, дробными и даже теми числами, что названы «иррациональными», так что вся математическая наука в целом может быть редуцирована к логико-арифметическому языку. Рационализм, особенно после победы Реформации в Тридцатилетней войне и атеистической Французской революции, неудержимо усиливал своё влияние и стал господствующей точкой зрения в теории познания. В XVII веке Декарт знаменитой формулой «Я мыслю, следовательно, я есть» провозгласил разум исходным началом людского бытия, а Лейбниц обещал дать «алгоритм вычисления всех истин». В XVIII веке Лаплас объявил, что, если бы существовал такой обширный ум, который мгновенно умел бы решать математические уравнения, ему бы до мельчайших подробностей открылось бы всё прошлое и будущее мира. А в конце XIX века Гильберт вновь поставил перед учёными задачу дискурсивного вывода всех законов природы («арифметизация физики»). И как всегда бывает со всякой разновидностью безумия, рационализм сам себя уничтожил в нескольких теоремах, опубликованных в 1930-х годах. Самой интересной из них является теорема Тарского (1936), в которой было доказано, что на языке дискурса невозможно даже ответить на вопрос «что есть истина?», не говоря о том, чтобы её отыскать.
Приведём доказательство этой теоремы. Чтобы в дискурсивное рассуждение не вкрались отголоски эмоций, догадок и художественных образов, присущих человеческой речи, формализуем его язык. Для этого нам хватит алфавита всего из девяти букв, или символов.
| Номер символа | Начертание символа | Значение символа |
| 1 | « | для всех |
| 2 | $ | существует |
| 3 | Ø | неверно, что… |
| 4 | = | равно |
| 5 | + | прибавить |
| 6 | * | умножить |
| 7 | возвести в степень | |
| 8 | х | переменная |
| 9 | 1 | единица |
Теперь высказывания о числах можно записывать в виде формул. Вот примеры:
х х1 х1 == х++1 (1)
х1 х == х1*11 (2)
Высказывание (1) утверждает, что к любому натуральному числу можно прибавить единицу, получив новое натуральное число (аксиома бесконечности натурального ряда). В нём нет свободных переменных — как х, так и x1 находятся под символами (кванторами) и . Такие высказывания касаются либо всех чисел сразу, либо отдельных конкретных чисел, поэтому они либо истинны, либо ложны. А вот высказывание (2) содержит свободную переменную х, и его истинность зависит от того, какое число мы подставим в него вместо х. Нетрудно видеть, что чётные числа обращают его в истинное высказывание, а нечётные в ложное. Это значит, что формулу (2) можно считать символическим обозначением множества чётных чисел.
По этому же правилу будем обозначать другие числовые множества: пусть формула со свободной переменной F (х) обозначает множество тех чисел, которые при подстановке в неё вместо х обращают её в истинное высказывание. Так мы получим возможность говорить на логико-арифметическом языке о разных видах чисел: простых числах, числах Фибоначчи, полных квадратах и т.д.
Но этого нам мало. Необходимо классифицировать не только числа, но и высказывания о числах, выделить те или иные их виды, например истинные высказывания. Пока наш язык способен высказываться только о числах, но есть способ заставить его высказываться и о высказываниях. Для этого нужно занумеровать высказывания, как остряки нумеровали анекдоты, и, вместо того чтобы говорить о них, говорить об их номерах. Тогда F(x) можно будет отождествлять с теми высказываниями, номера которых обращают F(х) в истинное высказывание. Так формула со свободной переменной станет критерием принадлежности высказывания к определённому виду.
Математиками были придуманы различные способы нумерации высказываний. Мы воспользуемся простейшим из них, предложенным Смульяном. Чтобы найти номер высказывания, надо подписать под каждым его символом номер этого символа и полученную таким образом последовательность цифр прочесть как число в десятеричной системе счисления, а затем прибавить к нему единицу. Для примера найдём номер высказывания (2):
х1 х == х1*11
2898589799 ++ 1 == 2898589800,
т.е. номер формулы (2) равен 2898589800.
Теперь предположим, что в языке дискурса существует критерий истинности — формула Т(х). Тогда её отрицание, т.е. формула Т(х) = L(х) будет критерием ложности: если высказывание, полученное из L(х) подстановкой в неё вместо х номера некоторой формулы обращает L(х) в истинное высказывание, значит, эта формула ложна. Подстановка вместо х в формулу F (х) числа n обозначается по Смульяну очень просто: пишется формула F (х), а вслед за нею п палочек (единиц), т.е.
(3)
Напишем вместо формулы L(х) формулу L(х * 10х). У неё есть какой-то свой номер, отличный от номера L(х). Обозначим этот номер числом n: N(L(x*10x) = n. Подставим в L(х*10х) вместо х число n. Тогда, согласно (3),
(по правилу определения номера высказывания) цифровому выражению формулы L(х * 10х), за которым следуют n девяток (цифровых выражений палочек) плюс единица, т.е. N (L(n*10п)) == цифровое выражение
Прибавление единицы к п девяткам даст п нулей, а к предыдущему разряду прибавится единица, т.е. перед нулями мы получим цифровое выражение формулы L(х * 10х) с добавлением единицы, а это — номер этой формулы, который равен п. Итак,
Обозначив число n*10п через т, получим окончательно:
N(L( m))==m (4)
Формула L(m) не содержит свободной переменной, поэтому она либо истинна, либо ложна. Предположим, что она истинна. Но L(x) — критерий лжи, её обращают в истинную формулу только номера ложных формул, значит формула с номером т ложна. Однако согласно (4) это её собственный номер. Значит, из истинности L(m) следует её ложность. Предположим теперь, что она ложна. Тогда число т не подпадает под критерий лжи, т.е. формула с номером т — а это есть она сама — истина. Явный абсурд.
Наше рассуждение было логически безупречным; единственным слабым звеном явилось в нём исходное предположение о том, что в языке дискурса понятие истинности поддаётся определению. Следовательно, его надо отбросить и констатировать тот факт, что в этом языке понятие истинности невыразимо. Теорема Тарского доказана.
Конечно, высказывания, которые в языке дискурса выводятся из аксиом, истинны. Назовём их выводимыми истинами. Они не исчерпывают всех истин, иначе истинность сводилась бы к выводимости, а поскольку выводимость в языке дискурса выразима, то и истинность была бы выразимой, что противоречит теореме Тарского. Но тогда встаёт вопрос: какую долю множества всех истин занимают выводимые истины? Сравнительно недавно доказано, что их доля ничтожно мала. В этом результате — полный крах рационализма.
Комментировать